История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Ледяные колокольчики Ледяные колокольчики

Что это за ледяные колокольчики, в изрядном числе свисающие над водой?

Наука и жизнь
Белая полоса Белая полоса

Что провоцирует появление растяжек и можно ли их предотвратить?

Лиза
Сбой системы Сбой системы

Как вовремя понять, что ребенка пора вести на прием к специалисту?

Лиза
Арт-терапия Арт-терапия

Дмитрий Озерков — главный человек по современному искусству в Петербурге

Tatler
Предисловие Предисловие

В чем особенности процессов колонизации и как превратить мечту в перспективу

Вокруг света
Работа из дома может разрушить ваши зубы. Дантистка объяснила, как этого избежать Работа из дома может разрушить ваши зубы. Дантистка объяснила, как этого избежать

Сильный стресс может стать причиной бруксизма — ночого скрежета зубами

Inc.
20 новых правил настоящей дружбы 20 новых правил настоящей дружбы

Как уберечь самое бескорыстное чувство в меняющемся мире

GQ
Смотри, что у тебя внутри Смотри, что у тебя внутри

Как микробы, живущие в нашем теле, определяют наше здоровье и нашу личность

kiozk originals
Азиатская модель управления Азиатская модель управления

Удачи и провалы самого динамичного региона в мире

kiozk originals
Как разлюбить плюшки Как разлюбить плюшки

Как сделать, чтобы плюшек не хотелось вовсе?

Худеем правильно
9 брутальных мужских монологов из фильмов 9 брутальных мужских монологов из фильмов

Зачем выдумывать фееричные фразы? Киногерои уже все сказали за тебя!

Maxim
Почему никто не видел птенцов голубей и как они выглядят Почему никто не видел птенцов голубей и как они выглядят

Да, птенцы голубей существуют. и они прекрасны!

Maxim
Как совместить приятное с полезным: ароматерапия для души и тела Как совместить приятное с полезным: ароматерапия для души и тела

С чем едят, то есть нюхают, ароматерапию?

Cosmopolitan
10 важнейших археологических находок 10 важнейших археологических находок

Археологи за XX век смогли выяснить, что происходило последние пять тысяч лет

Maxim
Остроумие для чайников: самоучитель, который превратит любого зануду в первоклассного шутника Остроумие для чайников: самоучитель, который превратит любого зануду в первоклассного шутника

Несколько простых приемов, помогающих рассмешить окружающих до коликов

Maxim
«Политкорректность усложняет язык» «Политкорректность усложняет язык»

Как меняется словарь и грамматика под влиянием технологических и новшеств

Огонёк
Великий и оболганный: необычные факты о гениальном “Трабанте” Великий и оболганный: необычные факты о гениальном “Трабанте”

Рассказываем все самое интересное о прекрасном “Траби”

Популярная механика
Квартирный вопрос: полезные лайфхаки для дома и кухни Квартирный вопрос: полезные лайфхаки для дома и кухни

Хотите облегчить уборку и всегда поддерживать дома порядок?

Cosmopolitan
С чистого холста С чистого холста

Интерьер для художницы, где может жить искусство

AD
В честь кого «Мерседес» назвали «Мерседесом»? В честь кого «Мерседес» назвали «Мерседесом»?

История появления названия автомобильной марки Mercedes

Maxim
Путешествия во времени Путешествия во времени

Почему людям так хочется вернуться в прошлое и заглянуть в будущее?

kiozk originals
Материнство раннее и позднее: в чем разница? Материнство раннее и позднее: в чем разница?

Что лучше: родить в юности или завести ребенка в зрелом возрасте?

Psychologies
Tommy Cash: «Жена Рика Оуэнса купила у меня мою сперму» Tommy Cash: «Жена Рика Оуэнса купила у меня мою сперму»

Томми Кэш о том, почему иногда важно просто послать всех нахер

GQ
Самое сухое место на Земле — песчаные дюны Антарктиды Самое сухое место на Земле — песчаные дюны Антарктиды

Сухие долины — место, где вот уже два миллиона лет не было никаких осадков

Maxim
Сметаной — нельзя, медом — можно. Что делать при разных видах ожогов Сметаной — нельзя, медом — можно. Что делать при разных видах ожогов

Как себя вести и что делать при ожогах разной степени тяжести?

РБК
Найди свое «Почему?» Найди свое «Почему?»

Практическое руководство по поиску цели

kiozk originals
Игры с компьютером: с чего все начиналось Игры с компьютером: с чего все начиналось

Первая игра для двоих, первая игра для женщин и другие первые компьютерные игры

Weekend
Разожги мой огонь Разожги мой огонь

Интимные отношения могут дарить вдохновение, но могут и гасить его

Psychologies
Трафик Трафик

Психология поведения на дорогах

kiozk originals
Историческая достоверность и детали со смыслом: как создавались костюмы в фильмах База Лурмана Историческая достоверность и детали со смыслом: как создавались костюмы в фильмах База Лурмана

Лучшие истории костюмов в картинах База Лурмана

Esquire
Открыть в приложении