История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Русские воины на службе у Орды Русские воины на службе у Орды

Привлечение в армию отрядов из покорённых земель являлось обычной практикой

Дилетант
Солнцестояние на острове проклятых: о чем новый сериал «Третий день» с Джудом Лоу Солнцестояние на острове проклятых: о чем новый сериал «Третий день» с Джудом Лоу

«Третий день» — оккультный триллер про альтернативную историю и Брекзит

Esquire
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Мы из будущего: лучшие фильмы о судьбе человечества Мы из будущего: лучшие фильмы о судьбе человечества

Лучшие фильмы о том, как режиссеры и сценаристы представляли себе будущее

Популярная механика
Драма 1921 года Драма 1921 года

Страшные подробности царь-голода в Советской России 1921 года

Дилетант
Почему чешется «там»? 8 основных причин и способы решения проблемы Почему чешется «там»? 8 основных причин и способы решения проблемы

От того, что ты без конца лезешь «туда» почесать, легче не станет

Playboy
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Ваши любимые джинсы серьезно загрязняют океан Ваши любимые джинсы серьезно загрязняют океан

При стирке денима, крошечные волокна смываются и попадают в окружающую среду

GQ
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Отрывок из книги Эрика-Эмманюэля Шмитта «Дневник утраченной любви» Отрывок из книги Эрика-Эмманюэля Шмитта «Дневник утраченной любви»

Некоторые главы романа «Дневник утраченной любви» Эрика-Эмманюэля Шмитта

СНОБ
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
6 способов успокоить ревнивого партнера 6 способов успокоить ревнивого партнера

Как корректно проработать ревность в отношениях?

Psychologies
Царь-пушка Царь-пушка

По случаю выхода фильма «Калашников» мы решили разобрать Калашникова

Maxim
Сонали Дераньягала: Волна. О немыслимой потере и исцеляющей силе памяти Сонали Дераньягала: Волна. О немыслимой потере и исцеляющей силе памяти

Первая глава книги «Волна. О немыслимой потере и исцеляющей силе памяти»

СНОБ
Вопросы на засыпку Вопросы на засыпку

Найдите ответы на пять простых, но каверзных вопросов, призвав на помощь логику

Наука и жизнь
«Идите навстречу боли, а не избегайте ее»: жизненные принципы миллиардера Рэя Далио «Идите навстречу боли, а не избегайте ее»: жизненные принципы миллиардера Рэя Далио

Фрагмент из книги «Принципы. Жизнь и работа» миллиардера Рэя Далио

Forbes
Бисмарк: коварный циник и создатель единой Германии Бисмарк: коварный циник и создатель единой Германии

Немцы редко гордятся методами, которые Бисмарк использовал для достижения целей

Дилетант
Интроверты​​​​ Интроверты​​​​

Как использовать особенности своего характера

kiozk originals
Виктор Цой. 1989 – 1990 Виктор Цой. 1989 – 1990

24 июня 1990 года группа «Кино» дает концерт на стадионе «Лужники»

Esquire
Превратил обман в публичную компанию за $20 млрд: в чём обвиняют производителя электрогрузовиков Nikola и его основателя Превратил обман в публичную компанию за $20 млрд: в чём обвиняют производителя электрогрузовиков Nikola и его основателя

Американский стартап хотел конкурировать с Tesla, но провалился

VC.RU
Оксана Карас: «Когда смотришь фильм, последнее, о чем стоит думать, — что его сняла женщина» Оксана Карас: «Когда смотришь фильм, последнее, о чем стоит думать, — что его сняла женщина»

Оксана Карас сняла фильм «Доктор Лиза» о благотворительнице Елизавете Глинке

Glamour
Кристофер Нолан: филолог, кинематографист-самоучка, брат бандита и режиссер корпоративных обучающих фильмов (недорого) Кристофер Нолан: филолог, кинематографист-самоучка, брат бандита и режиссер корпоративных обучающих фильмов (недорого)

Рассказываем о творческом и жизненном пути Кристофера Нолона

Esquire
Материнство раннее и позднее: в чем разница? Материнство раннее и позднее: в чем разница?

Что лучше: родить в юности или завести ребенка в зрелом возрасте?

Psychologies
Среди своих Среди своих

Cоздавая туриндустрию с нуля, Руанда пошла по тропе премиального туризма

Robb Report
Танец-вспышка Танец-вспышка

Справиться с раком груди Наталье Синдеевой помогло аргентинское танго

Tatler
Джоли — еще и режиссер! Знаменитые актеры, которые сами снимают фильмы Джоли — еще и режиссер! Знаменитые актеры, которые сами снимают фильмы

Некоторым актерам мало работы на площадке, они хотят руководить процессом

Cosmopolitan
8 самых увлекательных душевных расстройств в истории психиатрии 8 самых увлекательных душевных расстройств в истории психиатрии

Восемь историй болезни, описывающих случаи редких и очень интересных синдромов

Maxim
Маленькая книга Hygge Маленькая книга Hygge

Секрет датского счастья

kiozk originals
Энергия солнца. Оскар Хартманн — о том, как заставить деньги приносить счастье Энергия солнца. Оскар Хартманн — о том, как заставить деньги приносить счастье

Приносят ли деньги счастье?

Forbes
«У нас есть система. И она сработала»: Уоррен Баффет о секрете США, своих главных учителях и воспитании детей «У нас есть система. И она сработала»: Уоррен Баффет о секрете США, своих главных учителях и воспитании детей

Уоррен Баффет о воспитании детей, наследовании капиталов и отказе от роскоши

Forbes
Открыть в приложении