История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Пусть едят пирожные Пусть едят пирожные

О сюрпризах, которые случаются внутри эклеров

Tatler
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
5 легендарных мечей, которые до сих пор целы 5 легендарных мечей, которые до сих пор целы

Эти легендарные мечи можно увидеть собственными глазами!

Maxim
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена

Если ты – вторая жена, то в браке постоянно будет присутствовать его бывшая

Cosmopolitan
«Убойный завод» начала нэпа «Убойный завод» начала нэпа

Василий Комаров - убийца, жертвами которого стали более 30 человек

Дилетант
Нервничаешь после еды? 5 причин, с чем это может быть связано Нервничаешь после еды? 5 причин, с чем это может быть связано

Порой мы испытываем тревогу по непонятным причинам, например, после еды

Playboy
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Лесная поликлиника Лесная поликлиника

Какими способами самолечения пользуются животные?

Вокруг света
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Что делать, если вы потеряли смартфон или у вас его украли? Что делать, если вы потеряли смартфон или у вас его украли?

Как быстро вернуть потерянный или украденный смартфон?

CHIP
Потомки эмира Золотой Орды Потомки эмира Золотой Орды

Генетики получили несколько гипотез происхождения трёх казахских кланов

Наука и жизнь
7 странных явлений, которые происходят из-за Луны на Земле 7 странных явлений, которые происходят из-за Луны на Земле

Этот спутник не щадит ни львов, ни людей, ни лемуров!

Maxim
Не жалея ни женщин, ни детей Не жалея ни женщин, ни детей

Процесс по делу об айнзацгруппах в Нюрнберге

Дилетант
Американская мечта Американская мечта

Сказочный остров или США? Неинкорпорированная территория Америки

Вокруг света
Когда гений и злодейство cовместимы Когда гений и злодейство cовместимы

Унести из телевизионной студии чемодан с деньгами? Не так-то просто

Playboy
«Яичница смотрит на меня»: почему мы одушевляем неживые предметы «Яичница смотрит на меня»: почему мы одушевляем неживые предметы

Вы тоже замечали, что бутерброд косится подозрительно, а дверная ручка грустит?

Psychologies
Инвентаризация ценностей князя Юсупова Инвентаризация ценностей князя Юсупова

Князья Юсуповы были богатейшей семьёй России

Дилетант
Фон для портретов дам Фон для портретов дам

Екатерина Шульман о том, чего не понимают современные люди в романах Джейн Остен

Weekend
Пострадавшая от режима Саддама земляная крыса вернулась в иракские болота Пострадавшая от режима Саддама земляная крыса вернулась в иракские болота

Иракскую земляную крысу не видели живой с 1977 года

N+1
Как советский футболист забил первый гол в истории кубков и чемпионатов Европы (видео) Как советский футболист забил первый гол в истории кубков и чемпионатов Европы (видео)

28 сентября 1958 года. Помни! Празднуй! Гордись!

Maxim
От шелка до кремния От шелка до кремния

10 лидеров, которые объединили мир

kiozk originals
История безумия в классическую эпоху История безумия в классическую эпоху

Программный труд Мишеля Фуко, исторический экскурс о психиатрии

kiozk originals
Как установить таймер выключения Windows Как установить таймер выключения Windows

Хотите, чтобы компьютер выключался сам, без вашего участия?

CHIP
Медовый месяц по-королевски: где отдыхают после свадьбы принцы и принцессы Медовый месяц по-королевски: где отдыхают после свадьбы принцы и принцессы

Куда ездили отдыхать самые известные пары?

Cosmopolitan
Теория везения Теория везения

Практическое пособие по повышению вашей удачливости

kiozk originals
10 человек с самым высоким IQ 10 человек с самым высоким IQ

Ученый, шахматист, стриптизер и вышибала — люди с самым высоким IQ

Maxim
10 самых скандальных акций Гринпис 10 самых скандальных акций Гринпис

Активисты «Гринпис» известны творческим подходом к протестным флэш-мобам

РБК
Богини удачного ракурса: 11 звезд с асимметричными чертами лица Богини удачного ракурса: 11 звезд с асимметричными чертами лица

Лица знаменитых красоток вовсе не так пропорциональны, как кажется

Cosmopolitan
Открыть в приложении