История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Тайна форсажного пламени Тайна форсажного пламени

Что такое форсаж?

Популярная механика
«Я никогда не ем перед переговорами». Приметы и суеверия предпринимателей «Я никогда не ем перед переговорами». Приметы и суеверия предпринимателей

Странные иррациональные привычки российских предпринимателей

Inc.
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Борец с незаконной торговлей рассказал о нападениях, поджоге машины и возвращении 90-х Борец с незаконной торговлей рассказал о нападениях, поджоге машины и возвращении 90-х

Интервью с активистом Александром Виноградовым

СНОБ
На всех парах На всех парах

О создании первой самоходной машины на паровом двигателе

Наука и жизнь
Выйти из заданной схемы Выйти из заданной схемы

Можно ли изменить свой характер, если он мешает быть счастливым?

Psychologies
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Девственные леса Коми: как прошла поездка в одно из самых впечатляющих мест России Девственные леса Коми: как прошла поездка в одно из самых впечатляющих мест России

В сентябре в Республике Коми прошел федеральный инфотур

National Geographic
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Мультимиллионеры Мультимиллионеры

25 лет назад студия Pixar выпустила «Историю игрушек»

GQ
Кулебяка — украшение русского стола Кулебяка — украшение русского стола

Старинная русская кулебяка — традиционное новогоднее угощение

Наука и жизнь
Китоглав – птица с одним из самых массивных клювов Китоглав – птица с одним из самых массивных клювов

«Ботинкоклювая» птица

National Geographic
Жирафы Жирафы

Грациозных гигантов все сильнее притесняют в Африке

National Geographic
Кажется, революция Кажется, революция

Как захватить мир моды, не привлекая внимания санитаров?

Собака.ru
Пушкинская речь Пушкинская речь

Идейные антагонисты — Иван Тургенев и Фёдор Достоевский

Дилетант
Фукусима Фукусима

История ядерной катастрофы

kiozk originals
8 самых удивительных (и красивых) авторазвязок мира 8 самых удивительных (и красивых) авторазвязок мира

Красота в глазах проезжающего

Maxim
Время действия Время действия

Если ты находишь дело жизни, никакие сложности тебе уже не страшны

Glamour
Что делать по дороге на работу Что делать по дороге на работу

Чем люди предпочитают заниматься по дороге на работу и с работы

Psychologies
Ученые открыли новый биомаркер расстройств аутистического спектра у дошкольников Ученые открыли новый биомаркер расстройств аутистического спектра у дошкольников

Выявлена взаимосвязь между РАС и концентрацией одного из белков в плазме крови

N+1
Что будет с природой Что будет с природой

Григорий Ревзин о городе будущего

Weekend
Темные рыцари Темные рыцари

После двух лет затишья дуэт Hurts выпустил альбом саундтреков к пандемии

GQ
Правила жизни Микки Рурка Правила жизни Микки Рурка

Правила жизни американского актера и боксера Микки Рурка

Esquire
Культ столбов Культ столбов

Одно из семи чудес России, символ Республики Коми и сакральное место

Огонёк
Мег Уэйт Клейтон: Последний поезд на Лондон Мег Уэйт Клейтон: Последний поезд на Лондон

Отрывок из нового романа Мег Уэйт Клейтон об отправке первого киндертранспорта

СНОБ
Пчелиный яд разрушил клетки агрессивного рака молочной железы Пчелиный яд разрушил клетки агрессивного рака молочной железы

Компонент пчелиного яда мелиттин разрушает опухоли

N+1
Тутта Ларсен: «Единственный диетолог, который может тебе помочь, – ты сам» Тутта Ларсен: «Единственный диетолог, который может тебе помочь, – ты сам»

Популярная телеведущая, жена и мама делится собственным опытом похудения

Худеем правильно
Фильм или слайд-шоу: как мозг воспринимает реальность Фильм или слайд-шоу: как мозг воспринимает реальность

Возможно, наш мозг воспринимает реальность как серию короткометражек

Популярная механика
История дверного мира История дверного мира

Ускользающая красота с петербургских помоек

Огонёк
8 ошибок в фильмах, специально оставленных режиссерами 8 ошибок в фильмах, специально оставленных режиссерами

Мелкие оплошности, которые оставили в фильмах, чтобы порадовать фанатов

Maxim
Открыть в приложении