История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
«Мiр и война». Глава из новой книги Бориса Акунина «Мiр и война». Глава из новой книги Бориса Акунина

Глава из седьмого тома проекта «История Российского государства» Бориса Акунина

СНОБ
Крестовый психоз бедноты Крестовый психоз бедноты

Крестовый поход бедноты запомнился грабежами и массовыми убийствами

Дилетант
Надоел блонд? Как вернуться к своему натуральному цвету волос — мнение эксперта Надоел блонд? Как вернуться к своему натуральному цвету волос — мнение эксперта

Покрасилась, а через пару месяцев поняла, что цвет надоел — знакомая история?

Cosmopolitan
Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Как изменилась доступность общественного транспорта Как изменилась доступность общественного транспорта

Как за последние годы изменилась доступность общественного транспорта

СНОБ
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
Кости лисицы помогли пересмотреть представления о миграции охотников ледникового периода Кости лисицы помогли пересмотреть представления о миграции охотников ледникового периода

Древние охотники не мигрировали в более теплые районы с приходом зимы

N+1
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Ликбез: все мифы и научные факты о мужском организме Ликбез: все мифы и научные факты о мужском организме

Какие мифы о мужчинах правда, а какие — выдумка?

Популярная механика
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь

Как изменилась жизнь известных ведущих новостей?

Cosmopolitan
Камень на камень Камень на камень

Фантазия природы богата так, как человеку и не снилось

Вокруг света
Худеем, улучшая метаболизм Худеем, улучшая метаболизм

Пять простых правил для ускорения метаболизма

Здоровье
Античная тара Античная тара

Экспозиция «Античные транспортные амфоры»

Дилетант
Оксана Карас: «Мне только ленивый не позвонил перед съемками и не сказал:«Оксана, беги!» Оксана Карас: «Мне только ленивый не позвонил перед съемками и не сказал:«Оксана, беги!»

Оксана Карас, режиссер: мы все чокнутые, постоянно говорим про кино

Grazia
Нелюбимая жена — мать нелюбимого сына Нелюбимая жена — мать нелюбимого сына

Судьба Евдокии Лопухиной сложилась драматично

Дилетант
Как семейство Кардашьян заработало больше $2 млрд благодаря 14-летнему реалити-шоу Как семейство Кардашьян заработало больше $2 млрд благодаря 14-летнему реалити-шоу

Как вышло, что с закрытием шоу «Семейства Кардашьян» доходы семьи не иссякнут?

Forbes
Сон о Соне Сон о Соне

Самая сексуальная солистка самой популярной группы дала нам интервью!

Maxim
Тепло наших дел Тепло наших дел

Как Анастасия Татулова строит бизнес с человеческим лицом

Vogue
«Я же говорила!»: как распознать мнимую уверенность «Я же говорила!»: как распознать мнимую уверенность

Все мы слышали фразы вроде «А ведь я предупреждал!»

Psychologies
Королев против Королева Королев против Королева

Вадик Королев: зачем драться, если можно петь и танцевать

Собака.ru
Самая быстрая читка и наибольшее число селфи: звезды в Книге рекордов Гиннесса Самая быстрая читка и наибольшее число селфи: звезды в Книге рекордов Гиннесса

Нашим героям удалось установить мировой рекорд, не ставя перед собой такой цели

Cosmopolitan
Как разбогател Павел Фукс, девелопер из расследования об утечке из финразведки США, и почему потерял бизнес Как разбогател Павел Фукс, девелопер из расследования об утечке из финразведки США, и почему потерял бизнес

Как Фукс построил одного из самых заметных игроков на рынке недвижимости

Forbes
Правила жизни Мишель Уильямс Правила жизни Мишель Уильямс

Мишель Уильямс: конфуз — мой любимый тип юмора

Esquire
Иван Сорокин: Смена правил игры, или Почему высшее образование не гарантирует успех Иван Сорокин: Смена правил игры, или Почему высшее образование не гарантирует успех

Как изменились представления об успехе и почему стремиться нужно к счастью

СНОБ
Пес с тобой Пес с тобой

Лучший друг человека может быть и лучшим фитнес-тренером

GQ
Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена Призрак бывшей: как жить, если ты – вторая жена

Если ты – вторая жена, то в браке постоянно будет присутствовать его бывшая

Cosmopolitan
Коучинг-лидерство Коучинг-лидерство

Говори меньше, спрашивай больше и навсегда измени свой стиль управления

kiozk originals
Алгоритм распознал одиноких пожилых людей по речи Алгоритм распознал одиноких пожилых людей по речи

Алгоритм помог выделить гендерные различия в выражении чувства

N+1
Открыть в приложении