История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Мат: посмотрим в корень Мат: посмотрим в корень

Доктор филологических наук Максим Кронгауз рассуждает о судьбе русского мата

Наука и жизнь
Человек и железо Человек и железо

«Жаворонки на нити» — комедия о классовом перевоспитании, снятая в 1969 году

Weekend
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Марафон «Цифровой детокс»: возможно, вам не захочется его бросить Марафон «Цифровой детокс»: возможно, вам не захочется его бросить

Как же побороть цифровой гипноз и начать наслаждаться моментом «здесь и сейчас»?

РБК
Загадки исчезнувшей цивилизации Загадки исчезнувшей цивилизации

800 лет назад на месте современного Татарстана располагалась Волжская Булгария

Дилетант
Анатомия преступления Анатомия преступления

Что могут рассказать насекомые, отпечатки пальцев и ДНК

kiozk originals
Жизнь в кислотных облаках Жизнь в кислотных облаках

Как могла бы выглядеть венерианская жизнь?

Наука и жизнь
10 необычных Lincoln 10 необычных Lincoln

За более чем 100-летнюю историю марки имя Lincoln носили очень интересные машины

Популярная механика
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
В чем твоя сила, сестра? Самые главные качества знаков зодиака В чем твоя сила, сестра? Самые главные качества знаков зодиака

Узнай сильные стороны именно своего знака зодиака

Cosmopolitan
На пиковых перекрёстках Гороховой улицы На пиковых перекрёстках Гороховой улицы

Магическое притяжение Гороховой улицы в Санкт-Петербурге

Наука и жизнь
Когда гений и злодейство cовместимы Когда гений и злодейство cовместимы

Унести из телевизионной студии чемодан с деньгами? Не так-то просто

Playboy
Переступить порог рейхстага Переступить порог рейхстага

История главного исторического здания Берлина

Наука и жизнь
Есть ли чувства в сексе без обязательств Есть ли чувства в сексе без обязательств

Есть ли место чувствам в сексе без обязательств

СНОБ
Наши высочества Наши высочества

Интервью с высокими и талантливыми актрисами сериала «Дылды»

Maxim
Дышите глубжe Дышите глубжe

Как сказал Будда: «Медитация устраняет страдания, причиняемые неукрощенным умом»

Vogue
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Почему наш мир удобен только для мужчин? Приводим доказательства из новой книги (на примере уборки снега) Почему наш мир удобен только для мужчин? Приводим доказательства из новой книги (на примере уборки снега)

Внушительный объем примеров неравенства в самых разных областях

Esquire
Можно ли приручить землетрясение? Можно ли приручить землетрясение?

Что мы знаем о землетрясениях?

Наука и жизнь
«Комплекс плохой жены или матери». Топ-менеджеры рассказали, как высокий заработок женщины влияет на отношения в семье «Комплекс плохой жены или матери». Топ-менеджеры рассказали, как высокий заработок женщины влияет на отношения в семье

Каждая пятая пара распадается из-за того, что доход женщины выше чем у партнера

Forbes
Движение вверх Движение вверх

Александр Молочников и его география

Vogue
Топ-7 сочетаний с трикотажным жилетом — учимся носить главный тренд осени-2020 Топ-7 сочетаний с трикотажным жилетом — учимся носить главный тренд осени-2020

Список главных трендов осени пополнили школьные трикотажные жилеты

Cosmopolitan
Я само совершенство Я само совершенство

Надо ли бить тревогу, если ваша чудная крошка рыдает на кухне из-за четверки

Tatler
Неизбежно Неизбежно

12 технологических трендов, которые определяют наше будущее

kiozk originals
Не компьютерной графикой единой: как делают спецэффекты в кино Не компьютерной графикой единой: как делают спецэффекты в кино

Без спецэффектов сегодня не обходится ни один блокбастер

Популярная механика
Стив Джобс, Николь Ричи и другие: кого из знаменитостей усыновили Стив Джобс, Николь Ричи и другие: кого из знаменитостей усыновили

Знаменитости, воспитанные приемными родителями

Cosmopolitan
Зачем нам замуж? Алина Фаркаш считает, что брак женщине не так уж и нужен Зачем нам замуж? Алина Фаркаш считает, что брак женщине не так уж и нужен

Зачем выходить замуж в России – мне сложно понять

Cosmopolitan
Правила жизни Вернера Херцога Правила жизни Вернера Херцога

Правила жизни немецкого кинорежиссера Вернера Херцога

Esquire
Маховик времени: как выглядеть моложе своих лет Маховик времени: как выглядеть моложе своих лет

Как выглядеть моложе после 40 лет?

Cosmopolitan
Как не раствориться в партнере и сохранить личные границы Как не раствориться в партнере и сохранить личные границы

Какие риски несет такое представление о гармонии в отношениях

Psychologies
Открыть в приложении