История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

От чего умер Ленин? От чего умер Ленин?

На момент смерти Ленину было всего 53 года. На здоровье он никогда не жаловался

Дилетант
История унисекса: какие предметы одежды женщины «отняли» у мужчин и сделали своими История унисекса: какие предметы одежды женщины «отняли» у мужчин и сделали своими

Женский гардероб регулярно заимствовал предметы и элементы из мужского

Forbes
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
«Фактически сжигание денег»: почему богатейший человек Европы заморозил сделку по покупке Tiffany на самом деле «Фактически сжигание денег»: почему богатейший человек Европы заморозил сделку по покупке Tiffany на самом деле

Как Tiffany стараются избежать сорвать сделку с Бернаром Арно

Forbes
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Ненужная война: почему Баку и Ереван не уклонились от вооруженного конфликта Ненужная война: почему Баку и Ереван не уклонились от вооруженного конфликта

Столкновение в Карабахе соответствует внутриполитической логике обеих стран

Forbes
Используй ложку и телефон: 20 способов доставить себе удовольствие Используй ложку и телефон: 20 способов доставить себе удовольствие

Двадцать разных способов мастурбации на любой вкус и цвет

Cosmopolitan
По какому пути пойдет экспансия российского бизнеса в Белоруссии По какому пути пойдет экспансия российского бизнеса в Белоруссии

Экономические отношения между Белоруссией и Россией очень неформальны

СНОБ
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Материнство раннее и позднее: в чем разница? Материнство раннее и позднее: в чем разница?

Что лучше: родить в юности или завести ребенка в зрелом возрасте?

Psychologies
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Вакцинация: как работают прививки и почему их надо делать Вакцинация: как работают прививки и почему их надо делать

Прививки — большое зло или наше спасение?

Популярная механика
Идея: спрятать лицо стильно Идея: спрятать лицо стильно

Многих из нас маски и респираторы очень украшают

Maxim
Пострадавшая от режима Саддама земляная крыса вернулась в иракские болота Пострадавшая от режима Саддама земляная крыса вернулась в иракские болота

Иракскую земляную крысу не видели живой с 1977 года

N+1
Весело шагая: 7 крутых лестниц Весело шагая: 7 крутых лестниц

На подъеме: самые красивые лестницы в мире

Вокруг света
7 безумно дорогих покупок российских олигархов 7 безумно дорогих покупок российских олигархов

Иногда загадочная душа олигархов требует широких жестов и дорогостоящих покупок

Maxim
Чем кормить испанца Чем кормить испанца

Московский копирайтер приобрел фуд-трак и начал готовить для испанцев гамбургеры

Вокруг света
«Думаю, как все закончить» — новый фильм культового сценариста Чарли Кауфмана. Даже не пытайтесь его понять «Думаю, как все закончить» — новый фильм культового сценариста Чарли Кауфмана. Даже не пытайтесь его понять

«Быть Джоном Малковичем» — фильм одного из самых сложных современных режиссеров

Esquire
На понятном языке На понятном языке

Как появился Kotlin, и правда ли, что он идеален для программирования

Популярная механика
Почему я устаю? Почему я устаю?

В чем скрытые причины постоянной усталости?

Лиза
Не работайте с мудаками Не работайте с мудаками

Что делать, если мудаки вокруг вас?

kiozk originals
Sapiens Sapiens

Краткая история человечества

kiozk originals
Аргументы и факты Аргументы и факты

Сложно поверить, но этот интерьер замышлялся хозяевами как черно-серый

AD
6 странных вещей, которые люди делали в МРТ-сканере 6 странных вещей, которые люди делали в МРТ-сканере

Чем только учёные не заставляют заниматься своих подопытных

Популярная механика
Готова ли ты стать мамой: что нужно знать о себе, прежде чем решиться рожать Готова ли ты стать мамой: что нужно знать о себе, прежде чем решиться рожать

Какие вопросы стоит задавать самой себе, прежде чем планировать детей

Cosmopolitan
Как изменилась доступность общественного транспорта Как изменилась доступность общественного транспорта

Как за последние годы изменилась доступность общественного транспорта

СНОБ
6 самых сложных компьютерных игр 6 самых сложных компьютерных игр

Cколько джойстиков, мониторов и мышек было разбито во время прохождения этих игр

Maxim
Может ли в человеке быть несколько личностей Может ли в человеке быть несколько личностей

Как человеческий мозг создает истории, способные захватить внимание зрителя

СНОБ
Бутылка для соевого соуса Kikkoman за 60 лет стала символом удобства: каким принципам следовал её дизайнер Кендзи Экуан Бутылка для соевого соуса Kikkoman за 60 лет стала символом удобства: каким принципам следовал её дизайнер Кендзи Экуан

Тара с красной крышкой стала музейным экспонатом

VC.RU
Ослабленная связь коры и таламуса нарушила социализацию мышей Ослабленная связь коры и таламуса нарушила социализацию мышей

Из-за социальной изоляции в раннем возрасте у мышей нарушается связь в мозге

N+1
Открыть в приложении