История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Как стресс и тревоги влияют на мир моды Как стресс и тревоги влияют на мир моды

В 2020 году индустрия моды пережила самые большие потрясения в своей истории

GQ
Достучаться до небес Достучаться до небес

Заключенный концлагеря угоняет с их секретной военной базы бомбардировщик

Вокруг света
Разожги мой огонь Разожги мой огонь

Интимные отношения могут дарить вдохновение, но могут и гасить его

Psychologies
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Шаровой смеситель: главное водопроводное изобретение Шаровой смеситель: главное водопроводное изобретение

Алекс Манукян подарил миру водопроводный кран, который открывается одной рукой

Популярная механика
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Триумф семян Триумф семян

Как семена покорили растительный мир и повлияли на человеческую цивилизацию

kiozk originals
На всех парах На всех парах

О создании первой самоходной машины на паровом двигателе

Наука и жизнь
Великий и оболганный: необычные факты о гениальном “Трабанте” Великий и оболганный: необычные факты о гениальном “Трабанте”

Рассказываем все самое интересное о прекрасном “Траби”

Популярная механика
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Небесный диск из Небры «омолодили» на тысячу лет Небесный диск из Небры «омолодили» на тысячу лет

Его создателями небесного диска, вероятно, были кельтские мастера

N+1
Фарт инженера Павлуцкого Фарт инженера Павлуцкого

В местах этих на долю человека выпадет немало испытаний

Наука и жизнь
Непоколебимый Непоколебимый

Ваш сценарий финансовой свободы

kiozk originals
Деревянные выборы Деревянные выборы

Самые интересные деревья мира

Вокруг света
Экранное время Экранное время

Десять образовательных онлайн-курсов

Vogue
Сон о Соне Сон о Соне

Самая сексуальная солистка самой популярной группы дала нам интервью!

Maxim
Начало бесконечности Начало бесконечности

Объяснения, которые меняют мир

kiozk originals
Где искать ключики от весны? Где искать ключики от весны?

Как выглядят первые вестники долгожданной весны?

Наука и жизнь
10 самых смертоносных растений мира 10 самых смертоносных растений мира

Растения, от которых не ждешь подвоха

Популярная механика
Азиатская модель управления Азиатская модель управления

Удачи и провалы самого динамичного региона в мире

kiozk originals
Средство от похмелья: научный взгляд на народную проблему Средство от похмелья: научный взгляд на народную проблему

Может ли современная медицина создать средство от похмелья

Популярная механика
Марафон «Цифровой детокс»: возможно, вам не захочется его бросить Марафон «Цифровой детокс»: возможно, вам не захочется его бросить

Как же побороть цифровой гипноз и начать наслаждаться моментом «здесь и сейчас»?

РБК
Монарх под видом демократа Монарх под видом демократа

Октавиан Август не стал повторять ошибок Цезаря

Дилетант
Китайское исследование Китайское исследование

Один из самых масштабных анализов связи между пищевыми привычками и болезнями

kiozk originals
Кто такой глава «Церкви Последнего Завета» Виссарион, задержанный Следственным комитетом Кто такой глава «Церкви Последнего Завета» Виссарион, задержанный Следственным комитетом

Эта секта действует у нас в стране уже почти 30 лет

Maxim
Незвездные болезни: гепатит, диабет, псориаз, астма - с чем борются знаменитости Незвездные болезни: гепатит, диабет, псориаз, астма - с чем борются знаменитости

Многие звезды не боятся открыто говорить о проблемах со здоровьем

Cosmopolitan
10 книг, которые можно осилить за один вечер 10 книг, которые можно осилить за один вечер

Короткие книги, способные ударить под дых

Esquire
Мне двадцать два года Мне двадцать два года

Елена Смолина об «Облаке в ее комнате», уверенном черно-белом дебюте о юности

Weekend
Антихрупкость Антихрупкость

Как извлечь выгоду из хаоса

kiozk originals
Открыть в приложении