История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Монарх под видом демократа Монарх под видом демократа

Октавиан Август не стал повторять ошибок Цезаря

Дилетант
Богини удачного ракурса: 11 звезд с асимметричными чертами лица Богини удачного ракурса: 11 звезд с асимметричными чертами лица

Лица знаменитых красоток вовсе не так пропорциональны, как кажется

Cosmopolitan
Заповедники: «Умный дом» для природы Заповедники: «Умный дом» для природы

Уйдут ли заповедники в прошлое или, наоборот, станут более востребованными?

Наука и жизнь
Борец с незаконной торговлей рассказал о нападениях, поджоге машины и возвращении 90-х Борец с незаконной торговлей рассказал о нападениях, поджоге машины и возвращении 90-х

Интервью с активистом Александром Виноградовым

СНОБ
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Калифорния: Краткая история суши Калифорния: Краткая история суши

Книга, которая в деталях рассматривает классическое японское блюдо

kiozk originals
Почему у дятла не болит голова? Почему у дятла не болит голова?

Как дятлы долбят по дереву со скоростью 7 метров в секунду без травм

Наука и жизнь
Эффект Люцифера Эффект Люцифера

Почему хорошие люди превращаются в злодеев

kiozk originals
Престо, модерато, адажио Престо, модерато, адажио

Фантастическая повесть Игоря Вереснева

Наука и жизнь
Антихрупкость Антихрупкость

Как извлечь выгоду из хаоса

kiozk originals
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
5 лучших способов похудеть, кроме посещения тренажерного зала 5 лучших способов похудеть, кроме посещения тренажерного зала

Можно прийти в форму и без абонемента

Playboy
Счастья баловень безродный... Счастья баловень безродный...

Оценка Петром Меншикова была прозаической и трезвой: вороватый, да верный

Дилетант
Стереохимические фантазии Вант-Гоффа Стереохимические фантазии Вант-Гоффа

Ученые, которые первыми дали верное объяснение оптической изомерии

Наука и жизнь
Иллюзия успеха Иллюзия успеха

Четыре истории о талантливых мастерах пускать пыль в глаза

Популярная механика
Как дети иммигрантов из России и Израиля создали в США сервис доставки продуктов стоимостью в $3 млрд Как дети иммигрантов из России и Израиля создали в США сервис доставки продуктов стоимостью в $3 млрд

Получится ли у сервиса доставки еды GoPuff выйти за пределы американского рынка?

Forbes
Научный халифат Научный халифат

Что ислам подарил христианскому Западу

Вокруг света
Искусство успокаивать детей Искусство успокаивать детей

Опытный педиатр отвечает на вопрос, почему дети плачут

kiozk originals
Пушкинская речь Пушкинская речь

Идейные антагонисты — Иван Тургенев и Фёдор Достоевский

Дилетант
Тутта Ларсен: «Единственный диетолог, который может тебе помочь, – ты сам» Тутта Ларсен: «Единственный диетолог, который может тебе помочь, – ты сам»

Популярная телеведущая, жена и мама делится собственным опытом похудения

Худеем правильно
Стоит ли соглашаться на повышение? Как принять сложное карьерное решение Стоит ли соглашаться на повышение? Как принять сложное карьерное решение

Как принять решение о повышении, если вы не уверены, что справитесь со стрессом

Forbes
Монстры, белое зло и расизм: каким получился сериал «Страна Лавкрафта» Монстры, белое зло и расизм: каким получился сериал «Страна Лавкрафта»

Сериал «Страна Лавкрафта» — хоррор про расизм и монстров

Esquire
4 невероятных шоссе, заставляющих протереть глаза 4 невероятных шоссе, заставляющих протереть глаза

Эти дороги без всякого желтого кирпича заставляют думать о чудесах

Maxim
Главные правила успешных переговоров Главные правила успешных переговоров

Ведение переговоров — один из ключевых навыков поддержания бизнеса

СНОБ
Слишком хорошая погода: что делать при солнечном ударе Слишком хорошая погода: что делать при солнечном ударе

Как не допустить солнечного удара и что делать, если он все же случился?

Cosmopolitan
Отмойте это немедленно: что в вашем доме гораздо грязнее унитаза Отмойте это немедленно: что в вашем доме гораздо грязнее унитаза

Самые грязные места вашего дома — готовьте санитайзеры

Популярная механика
Почему важно беречь личные данные Почему важно беречь личные данные

Как защититься от нежелательных контактов?

СНОБ
В кадре и за кадром В кадре и за кадром

Женщины в кинопроизводстве уже давно не исключение

OK!
Такого Джуда Лоу вы еще не видели. Хоррор-сериал «Третий день» с аллюзиями на Брекзит Такого Джуда Лоу вы еще не видели. Хоррор-сериал «Третий день» с аллюзиями на Брекзит

«Третий день» — необычный фолк-хоррор

Forbes
Глава из книги Джона Скальци «В клетке. Вирус. Напролом» Глава из книги Джона Скальци «В клетке. Вирус. Напролом»

Впервые на русском языке выходит трилогия научного фантаста Джона Скальци

СНОБ
Открыть в приложении