История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Вар! Верни легионы!» «Вар! Верни легионы!»

Одно из самых унизительных поражений римской армии

Дилетант
10 вариантов будущего через тысячу лет 10 вариантов будущего через тысячу лет

Попробуем посмотреть в далёкое будущее с позитивом

Популярная механика
Кто вы, доктор Арендт? Кто вы, доктор Арендт?

Загадка, уходящая своими корнями в XIX столетие

Дилетант
Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу» Сара Терриен: «Хорошая работа психолога чувствуется практически сразу»

Когда следует задуматься о консультации психолога?

Здоровье
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Как правильно организовать рабочее место Как правильно организовать рабочее место

Правильная организация рабочего места повышает продуктивность

Cosmopolitan
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
Заразительный Заразительный

Психология сарафанного радио. Как продукты и идеи становятся популярными

kiozk originals
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Паразит – царь природы Паразит – царь природы

Тайный мир самых опасных существ на Земле

kiozk originals
Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции Жуки-навозники: 70 миллионов лет эволюции

Деятельность жуков-навозников имеет воистину планетарное значение

Наука и жизнь
Южные стрижи не пустили северных к лучшим местам зимовки Южные стрижи не пустили северных к лучшим местам зимовки

Чем севернее гнездятся стрижи, тем севернее расположены их зимовки в Африке

N+1
90 минут и шесть миллионов жизней 90 минут и шесть миллионов жизней

На Ванзейской конференции был согласован план «решения еврейского вопроса»

Дилетант
Rework Rework

Бизнес без предрассудков

kiozk originals
Конец Бонапарта Конец Бонапарта

Наполеон встретил смерть так же хладнокровно, как вражеские ядра и пули

Дилетант
Почему мужчине не хочется секса: список из 13 основных причин Почему мужчине не хочется секса: список из 13 основных причин

Подборка вероятных причин низкого либидо у мужчин или полного отсутствия желания

Playboy
Время девы. Весеннее небо Время девы. Весеннее небо

Весна — лучшее время для наблюдения созвездия Девы

Наука и жизнь
Начало бесконечности Начало бесконечности

Объяснения, которые меняют мир

kiozk originals
Рождение и гибель мегаполисов Рождение и гибель мегаполисов

Почему Вавилон пришел в упадок?

Вокруг света
Эксперимент ЦРУ помог исследователям раскрыть секрет успешных команд Эксперимент ЦРУ помог исследователям раскрыть секрет успешных команд

Почему одни команды справляются с задачами лучше других?

Inc.
«Я же говорила!»: как распознать мнимую уверенность «Я же говорила!»: как распознать мнимую уверенность

Все мы слышали фразы вроде «А ведь я предупреждал!»

Psychologies
Аномальное тепло помешало мышам и хомячкам вырастить детей Аномальное тепло помешало мышам и хомячкам вырастить детей

При высокой температуре воздуха самки чаще убивают собственных детенышей

N+1
Пять компьютерных розыгрышей: как безобидно насолить другу Пять компьютерных розыгрышей: как безобидно насолить другу

Способы избавиться от офисной скуки

Популярная механика
SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP SpaceX запустит зонд для изучения гелиопаузы IMAP

IMAP будет наблюдать за потоками высокоэнергетических нейтральных атомов

N+1
6 способов успокоить ревнивого партнера 6 способов успокоить ревнивого партнера

Как корректно проработать ревность в отношениях?

Psychologies
Королева детективов: 9 мифов об Агате Кристи Королева детективов: 9 мифов об Агате Кристи

«Убийца — дворецкий»: как на самом деле писала Агата Кристи

Вокруг света
6 самых сложных компьютерных игр 6 самых сложных компьютерных игр

Cколько джойстиков, мониторов и мышек было разбито во время прохождения этих игр

Maxim
6 фактов о Метро-2 — системе тайных тоннелей под Москвой 6 фактов о Метро-2 — системе тайных тоннелей под Москвой

Существование тайных тоннелей под Москвой — одна из популярных городских легенд

Maxim
Дисциплина без драм Дисциплина без драм

Как помочь ребенку воспитать характер

kiozk originals
Как снять гель-лак: все способы и лайфхаки от мастеров маникюра Как снять гель-лак: все способы и лайфхаки от мастеров маникюра

Домашние способы снять гель-лак, которые несложно освоить

Cosmopolitan
Открыть в приложении