История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Эпоха тюрок. Печенеги Эпоха тюрок. Печенеги

С IX века хозяевами Великой степи становятся тюркоязычные народы

Дилетант
Американская мечта Американская мечта

Сказочный остров или США? Неинкорпорированная территория Америки

Вокруг света
На всех парах На всех парах

О создании первой самоходной машины на паровом двигателе

Наука и жизнь
Экс-аналитик HSBC из России подала в суд на банк из-за гендерной дискриминации Экс-аналитик HSBC из России подала в суд на банк из-за гендерной дискриминации

Сотрудницу HSBC уволили из-за жалобы на дискриминацию женщин в компании

Forbes
Бегство наследника Бегство наследника

Алексей Петрович так боялся отца, что в итоге сбежал за границу

Дилетант
Секс после 50: возвращаемся к своим желаниям Секс после 50: возвращаемся к своим желаниям

Почему в зрелом возрасте люди испытывают страсть реже и что с этим делать

Psychologies
Тайна завитка под буквой «Д» Тайна завитка под буквой «Д»

История раскрытия, изложенная в двух частях с предисловием

Наука и жизнь
Правила жизни Леонарда Коэна Правила жизни Леонарда Коэна

Правила жизни поэту и музыканта Леонарда Коэна

Esquire
На пиковых перекрёстках Гороховой улицы На пиковых перекрёстках Гороховой улицы

Магическое притяжение Гороховой улицы в Санкт-Петербурге

Наука и жизнь
Движение вверх Движение вверх

Александр Молочников и его география

Vogue
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Дети, посуда и розетки. Как сексизм пронизывает нашу повседневность и почему старые нормы неизбежно отмирают Дети, посуда и розетки. Как сексизм пронизывает нашу повседневность и почему старые нормы неизбежно отмирают

Отрывок из книги о новой этике «Так вышло. 29 вопросов новой этики и морали»

Forbes
Яицкие «лихие люди» Яицкие «лихие люди»

Империя вытравливала из народной памяти любые упоминания о казачьих бунтах

Дилетант
Мастер перевоплощений: такой разный Джуд Лоу Мастер перевоплощений: такой разный Джуд Лоу

От обаятельного вдовца до Папы Римского: Джуду Лоу подвластна любая роль

Cosmopolitan
Кантемиры Кантемиры

Дмитрий Кантемир считался одним из образованнейших людей своего времени

Дилетант
Культ столбов Культ столбов

Одно из семи чудес России, символ Республики Коми и сакральное место

Огонёк
Путь к океану Путь к океану

Если вы хотите узнать Кению, надо проехать хотя бы полстраны

Вокруг света
Парни, мы все повзрослели: каким получилось продолжение комедии «Билл и Тед» с Киану Ривзом 30 лет спустя Парни, мы все повзрослели: каким получилось продолжение комедии «Билл и Тед» с Киану Ривзом 30 лет спустя

Киану Ривз и Алекс Уинтер в образе двух посредственных и добродушных мужчин

Esquire
Семь главных шагов к вершине власти Семь главных шагов к вершине власти

На пути к положению принцепса Октавиан использовал хитрость и коварство

Дилетант
Обожает бургеры и ненавидит себя без бороды: неожиданные факты о Джейми Дорнане Обожает бургеры и ненавидит себя без бороды: неожиданные факты о Джейми Дорнане

Джейми Дорнан — успешная модель в прошлом и популярный актер в будущем

Cosmopolitan
8 главных фильмов о моде 8 главных фильмов о моде

Фильмы о фэшн-индустрии и манящей глянцевой жизни

Cosmopolitan
Правила жизни Уилла Смита Правила жизни Уилла Смита

Правила жизни американского актера и музыканта Уилла Смита

Esquire
Правила жизни Мишель Уильямс Правила жизни Мишель Уильямс

Мишель Уильямс: конфуз — мой любимый тип юмора

Esquire
Эффект фастфуда: как новости заставляют нас чувствовать себя мизерными и пассивными Эффект фастфуда: как новости заставляют нас чувствовать себя мизерными и пассивными

Отрывок из книги Рольфа Добелли «Без новостей»

Forbes
Кредиты под 365% годовых: как ростовщики ломают жизни заемщикам Кредиты под 365% годовых: как ростовщики ломают жизни заемщикам

Недобросовестные коллекторы кажутся источником зла, но только на первый взгляд

Forbes
Школа будущего: частная, бесплатная, инклюзивная Школа будущего: частная, бесплатная, инклюзивная

В Иркутске построена уникальная школа «Точка будущего»

Эксперт
Кто такой глава «Церкви Последнего Завета» Виссарион, задержанный Следственным комитетом Кто такой глава «Церкви Последнего Завета» Виссарион, задержанный Следственным комитетом

Эта секта действует у нас в стране уже почти 30 лет

Maxim
10 самых странных брачных ритуалов у животных 10 самых странных брачных ритуалов у животных

Брачные ритуалы животных бывают крайне странными для нашего восприятия

Популярная механика
Женское здоровье: культура посещения гинеколога Женское здоровье: культура посещения гинеколога

Как начать заботиться о своем здоровье и регулярно посещать «женского врача»

Psychologies
Серый кардинал принципата Серый кардинал принципата

Имя Гая Цильния Мецената стало нарицательным

Дилетант
Открыть в приложении