История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

На всех парах На всех парах

О создании первой самоходной машины на паровом двигателе

Наука и жизнь
Почему все современные музыканты звучат одинаково? Почему все современные музыканты звучат одинаково?

Что вообще происходит с музыкой в XXI веке?

Maxim
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Игра в молчанку Игра в молчанку

Что такое синдром FOSO и как с ним жить

GQ
Время Кассиопеи. Осеннее небо Время Кассиопеи. Осеннее небо

Что можно наблюдать на звездном небе осенью

Наука и жизнь
Balenciaga Balenciaga

Самая мрачная коллекция Balenciaga от Демны Гвасалии

Weekend
«Убойный завод» начала нэпа «Убойный завод» начала нэпа

Василий Комаров - убийца, жертвами которого стали более 30 человек

Дилетант
Как укротить гнев и не срываться на близких Как укротить гнев и не срываться на близких

Как перестать срываться на самых близких

РБК
Сера: из отходов в материал будущего Сера: из отходов в материал будущего

В мире ежегодно производится почти 80 миллионов тонн серы

Наука и жизнь
Спорт для тех, кто не хочет худеть Спорт для тех, кто не хочет худеть

Топ спортивных активностей для полных людей

Psychologies
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Один «мидл» — хорошо, а два «джуна» лучше. Как сэкономить на найме разработчиков Один «мидл» — хорошо, а два «джуна» лучше. Как сэкономить на найме разработчиков

Работодатели сильно недооценивают плюсы от найма junior-разработчиков

Inc.
Познание тьмы Познание тьмы

Как люди убедились, что черные дыры реальны

Вокруг света
Магия утра Магия утра

Как первый час дня определяет ваш успех

kiozk originals
Этикет чтения в деталях Этикет чтения в деталях

Книжные цепи, ножи и другие приспособления, которые облегчали жизнь книге

Наука и жизнь
«Коля — это кремень»: что мы знаем о повзрослевшем сыне Лукашенко «Коля — это кремень»: что мы знаем о повзрослевшем сыне Лукашенко

Что мы знаем о младшем сыне Лукашенко, которого отец готовил в преемники?

Forbes
Переступить порог рейхстага Переступить порог рейхстага

История главного исторического здания Берлина

Наука и жизнь
Персидская хромированная сталь оказалась на 1000 лет старше европейской Персидская хромированная сталь оказалась на 1000 лет старше европейской

Ученые доказали, что хромированную сталь научились ковать в Персии еще в XI веке

N+1
Маленькая непобедоносная война Маленькая непобедоносная война

«Зимняя война» — кино о том, как маленькая война может стать провалом

Дилетант
10 фактов, которые делают хищников еще опаснее 10 фактов, которые делают хищников еще опаснее

Удивительные и пугающие черты хищников

Популярная механика
Киностудии дореволюционной России Киностудии дореволюционной России

Кто создавал в России первые киностудии и какие картины на них снимали

Культура.РФ
Борода лопатой и галстук-бабочка: 7 деталей мужского стиля, которые всех достали Борода лопатой и галстук-бабочка: 7 деталей мужского стиля, которые всех достали

Хватит поставлять нам одинаковых бородатых мужчин в белых кедах. Пожалуйста!

Cosmopolitan
Как правильно организовать рабочее место Как правильно организовать рабочее место

Правильная организация рабочего места повышает продуктивность

Cosmopolitan
5 простых правил питания, которые помогают быстро похудеть 5 простых правил питания, которые помогают быстро похудеть

Не нужно морить себя голодом, чтобы похудеть

Playboy
«Мы знаем, что люди хотят слушать здесь и сейчас» «Мы знаем, что люди хотят слушать здесь и сейчас»

О развитии «Яндекс.Музыки» и будущем подкастов в России

Inc.
Кому нужно тело Ленина на Красной площади Кому нужно тело Ленина на Красной площади

Почему мумия вождя мирового пролетариата осталась на главной столичной площади?

СНОБ
Тайны, яды и немного психологии: жизнь и книги Агаты Кристи Тайны, яды и немного психологии: жизнь и книги Агаты Кристи

Главные факты из жизни великой писательницы Агаты Кристи

Psychologies
Френдзона Френдзона

Журналист Латиф Нассер попытался разобраться в судьбе другого Латифа Нассера

Esquire
Рынок или ателье: как образуются огромные черные дыры Рынок или ателье: как образуются огромные черные дыры

Слияние черных дыр с сильно отличающейся массой идет по особому сценарию

Популярная механика
«Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения «Подумаю об этом завтра» и другие примеры нейтрального самовнушения

Аффирмации, которые помогут перестать критиковать и осуждать себя

Psychologies
Открыть в приложении