Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

От книжного колеса до букридера От книжного колеса до букридера

Иллюстрированная история устройств для чтения

Наука и жизнь
Одежда-антистресс Одежда-антистресс

Что включить в дофаминовый гардероб

Лиза
На задворках двух империй На задворках двух империй

Как Пушкин и древнеримский поэт Овидий оказались практически в одном месте

Наука и жизнь
Генно-модифицированные островковые клетки прижились у пациента без иммуносупрессии Генно-модифицированные островковые клетки прижились у пациента без иммуносупрессии

Успех эксперимента по пересадке генно-модифицированных аллогенных бета-клеток

N+1
Идеи, теории и полимеры Идеи, теории и полимеры

А. А. Берлин — один из создателей научной школы по химической физике полимеров

Наука и жизнь
Как выбрать фильтр для воды? Есть всего два важных параметра Как выбрать фильтр для воды? Есть всего два важных параметра

Разбираемся, как выбрать идеальную систему очистки воды

ТехИнсайдер
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
Что такое отложенный налог на прибыль и зачем его учитывать Что такое отложенный налог на прибыль и зачем его учитывать

Как работает отложенный налог на прибыль

Inc.
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина

Режиссер Роман Михайлов — о снах и сказочных 90-х

Ведомости
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута» Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута»

Семь вещей, за которые стоит поблагодарить Михаила Горшенева

Правила жизни
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Что скрывается за модным словом «роялти» ? Что скрывается за модным словом «роялти» ?

Пассивный доход на интеллектуальной собственности: как работает роялти?

Наука и техника
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим 10 фильмов про Супермена, от худших к лучшим

Самые лучшие и самые худшие фильмы про Супермена

Maxim
Заповедные люди Заповедные люди

Зачем сотрудники Саяно-Шушенского заповедника бродят по глухой тайге?

Вокруг света
Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос

Институт астрономии РАН запустит УФ-обсерваторию и создаст лунную базу

Наука и жизнь
Замечательный сосед Замечательный сосед

Жители мадагаскарского острова решили наладить дружеские отношения с животными

Вокруг света
Как написать в Ватсап без добавления контакта Как написать в Ватсап без добавления контакта

Разберем, написать в Ватсап без добавления номера в телефонную книгу

CHIP
Выйти из сумрака Выйти из сумрака

С балкона небоскреба сорвать сливу или персик — для Китая это уже не фантастика

Вокруг света
Мемолог или вайб-менеджер: какие новые профессии придумал российский бизнес и зачем Мемолог или вайб-менеджер: какие новые профессии придумал российский бизнес и зачем

Какие необычные позиции появились в российских компаниях за последние пару лет

Forbes
Что такое DDoS-атака и как она работает Что такое DDoS-атака и как она работает

Объясняем, что такое DDoS и как оно работает

ТехИнсайдер
Австралиец нашел прижизненные фотографии вымершего почти сто лет назад бандикута Австралиец нашел прижизненные фотографии вымершего почти сто лет назад бандикута

Куратор музея обнаружил в архивах черно-белые фотографии бандикута

N+1
Все фильмы и сериалы Джеймса Ганна от худшего к лучшему Все фильмы и сериалы Джеймса Ганна от худшего к лучшему

Фильмы Джеймса Ганна от инди-ужасов до супергероев Marvel и DC

Maxim
Где на Руси отдыхать хорошо Где на Руси отдыхать хорошо

Лучшие места в России по версии Men Today

Men Today
Мост – это мир со своими законами Мост – это мир со своими законами

Наш сегодняшний разговор – не о фантастике, а о фантастических мостах

Знание – сила
«Был честен с собой и со своим ремеслом»: каким был путь в искусстве Карла Брюллова «Был честен с собой и со своим ремеслом»: каким был путь в искусстве Карла Брюллова

Каким был путь в искусстве Карла Брюллова и как его показывают в музеях

Forbes
Меняться и менять Меняться и менять

Каким должен быть лидер в наше нестабильное время

Men Today
Три самых популярных ошибки новичка в трейле Три самых популярных ошибки новичка в трейле

Как подготовиться к своему первому трейлу и какие ошибки важно не повторить

Maxim
Открыть в приложении