Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

То ли волк, то ли собака То ли волк, то ли собака

Откуда появляются волкособаки?

Наука и жизнь
Люди, традиции, поговорки и преступления Люди, традиции, поговорки и преступления

Из чего Льюис Кэрролл создал «Алису в Стране чудес»

Weekend
Фтор: разрушающий или созидающий? Фтор: разрушающий или созидающий?

Написать эту заметку меня побудило желание рассказать об удивительном элементе

Наука и жизнь
Регионы России, которые сильнее всего пострадали от внутреннего туризма Регионы России, которые сильнее всего пострадали от внутреннего туризма

Россияне открывают Алтай и Калининград... но не везде к этому готовы

Maxim
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
В такси на Дубровку В такси на Дубровку

Ищешь живописное место для фотосессии? Советские фильмы знают ответ!

Лиза
Хищные вещи Йипа ван Леуэнстейнa Хищные вещи Йипа ван Леуэнстейнa

Дизайнер Йип ван Леуэнстейн пытается решать проблемы человечества

Популярная механика
Камерно и точечно Камерно и точечно

Софья Синицына и ее год положительной трансформации

OK!
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Глаз-синхротрон Глаз-синхротрон

О том, как научить искусственный интеллект понимать, а не угадывать химию

Наука и жизнь
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
Обмануть время: зачем во многих странах переводят часы на зимнее и летнее время и почему в России от этого отказались Обмануть время: зачем во многих странах переводят часы на зимнее и летнее время и почему в России от этого отказались

Зачем вообще была придумана практика перевода часов на зимнее время?

ТехИнсайдер
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Кабачки Кабачки

Куда девать кабачки летом?

Здоровье
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
В России художник — пророк В России художник — пророк

Что и как видит художник и зачем вообще нужны искусствоведы

Монокль
По следам Виллема Баренца По следам Виллема Баренца

История освоения Новой Земли

Наука и жизнь
Банановые перспективы российских субтропиков Банановые перспективы российских субтропиков

Инвесторы хотят импортозаместить экзотические фрукты

Агроинвестор
Голоса в голове Голоса в голове

Из каких субличностей состоит человеческое «Я»?

Psychologies
Команда спасателей Команда спасателей

Справляемся с отпускными кризисными бьюти-ситуациями

Moodboard
Паренек и восемь убитых Паренек и восемь убитых

Почему дедовщина в армии закончилась, а издевательства — нет

Русский репортер
Что такое калланетика и помогает ли она похудеть: 9 упражнений Что такое калланетика и помогает ли она похудеть: 9 упражнений

Эффективный комплекс упражнений для укрепления мышц, которые можно делать дома

РБК
На египетской картине нашли библейский синий На египетской картине нашли библейский синий

Из чего древние египтяне делали редкую краску — библейский синий

N+1
Пусть всегда будет солнце! Пусть всегда будет солнце!

Atraversia — серийная моторная яхта с чисто электрической установкой

Y Magazine
Пророческий мультсериал: 7 сбывшихся предсказаний из «Симпсонов» Пророческий мультсериал: 7 сбывшихся предсказаний из «Симпсонов»

Про 7 самых интересных предсказаний «Симпсонов», которые сбылись

ТехИнсайдер
Как избежать ошибок на переговорах Как избежать ошибок на переговорах

Распространенные просчеты в оффлайн- и онлайн-переговорах и как их избежать

Inc.
О чем молчат рекорды HoReCa О чем молчат рекорды HoReCa

Будут ли все последствия смещения потребления с кухни в ресторан положительными?

Агроинвестор
Доска объявлений: много ли теннисисты зарабатывают на спонсорских нашивках Доска объявлений: много ли теннисисты зарабатывают на спонсорских нашивках

Почему теннисисты не могут выглядеть, как облепленные логотипами гонщики

Forbes
Любовь победит Любовь победит

Регина Тодоренко и Влад Топалов — о работе над проектом «Ставка на любовь»

OK!
От Пушкина до «Твиттера»: как жила и развивалась запрещенная лексика в русской культуре От Пушкина до «Твиттера»: как жила и развивалась запрещенная лексика в русской культуре

Каким был длинный и богатый маршрут русского мата

Maxim
Открыть в приложении