Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Фтор: разрушающий или созидающий? Фтор: разрушающий или созидающий?

Написать эту заметку меня побудило желание рассказать об удивительном элементе

Наука и жизнь
Эрдоган зажат между интересами США и Британии Эрдоган зажат между интересами США и Британии

Политический кризис в Турции может серьезно встряхнуть государство и регион

Монокль
Зимний букет Зимний букет

Я хорошо помню то утро, когда мир дрогнул и начал разваливаться

Наука и жизнь
В Португалии нашли выгравированные в эпоху верхнего палеолита фигуры животных В Португалии нашли выгравированные в эпоху верхнего палеолита фигуры животных

Археологи обнаружили в Португалии новые произведения палеолитического искусства

N+1
На задворках двух империй На задворках двух империй

Как Пушкин и древнеримский поэт Овидий оказались практически в одном месте

Наука и жизнь
«Двойка» за хорошее поведение «Двойка» за хорошее поведение

BMW M2 Gran Coupe: баварское купе, которое на самом деле седан

Автопилот
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
«Я женюсь на Гале каждый момент, когда на нее смотрю» «Я женюсь на Гале каждый момент, когда на нее смотрю»

Галина Вишневская и Мстислав Ростропович. Две выдающиеся личности

OK!
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
Главными проблемами малого и среднего бизнеса стали дефицит кадров и инфляция Главными проблемами малого и среднего бизнеса стали дефицит кадров и инфляция

Доля предпринимателей, не сталкивающихся с трудностями, в 2025 году упала до 14%

Forbes
Поэт в жизни или Счастливый неудачник… Поэт в жизни или Счастливый неудачник…

О литературном герое Илье Ильиче Обломове

Наука и жизнь
Очень странные дела Очень странные дела

Какие бьюти-тренды из соцсетей искренне настораживают косметологов

Лиза
«Зелёные русалки» наших вод «Зелёные русалки» наших вод

Кувшинка, словно сказочная наяда, являет себя миру, удивляя красотой

Наука и жизнь
Мария Мацель: «Теперь наконец я могу делать и что-то свое» Мария Мацель: «Теперь наконец я могу делать и что-то свое»

Актриса Мария Мацель — о том, как снимаются фильмы-сны

Ведомости
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Мертвые дети, неравенство и травмы Мертвые дети, неравенство и травмы

Настоящий мир вымышленного Питера Пэна

Weekend
Отвергнутая королева Отвергнутая королева

Фигура Марии Кровавой Тюдор ассоциируется с жестокостью и репрессиями

Дилетант
Новое открытие в нейробиологии: ученые разобрались, как на самом деле работает память Новое открытие в нейробиологии: ученые разобрались, как на самом деле работает память

Какой процесс играет ключевую роль в том, как хранятся воспоминания?

Inc.
Долгая счастливая жизнь Долгая счастливая жизнь

Ученые нашли ответ на вечный вопрос: как быть счастливым

Вокруг света
Патриотизм «подлинный» и «показной» Патриотизм «подлинный» и «показной»

Некогда мы гордились тем, что считали себя самой читающей страной

Дилетант
Пусть говорят? Пусть говорят?

52 минуты в день — именно столько, согласно ученым, сплетничают люди сегодня

Огонёк
Зарплатно-гендерный вопрос Зарплатно-гендерный вопрос

Удовлетворенность размером зарплаты среди мужчин и женщин практически сравнялась

Ведомости
Надежда Ангарская: «Женщинам обязательно нужно устраивать девичники, никакой психолог потом не нужен» Надежда Ангарская: «Женщинам обязательно нужно устраивать девичники, никакой психолог потом не нужен»

Надежда Ангарская про свой опыт участия в шоу перевоплощений «Один в один»

Здоровье
Шеф — поставщик: здесь и сейчас Шеф — поставщик: здесь и сейчас

Как в разных регионах находят необычные продукты и превращают в уникальные блюда

Bones
Президент РАН Геннадий Красников: Ни один вопрос без Российской академии наук сегодня не обходится Президент РАН Геннадий Красников: Ни один вопрос без Российской академии наук сегодня не обходится

Президент РАН о том, какие задачи сегодня решает академия

Ведомости
Синдром саванта: что это, симптомы и причины возникновения Синдром саванта: что это, симптомы и причины возникновения

Сочетание отставания в развитии и гениальности — редкое, но популярное явление

Psychologies
Есть вопрос Есть вопрос

Что такое хорарная астрология и как ей пользоваться

Лиза
Талант грани Талант грани

Катя Грань занимается керамикой почти десять лет, ее вазы — часть природы

Seasons of life
Лидерство в коллективе: как завоевать авторитет и доверие в группе? Лидерство в коллективе: как завоевать авторитет и доверие в группе?

Какие лидерские качества стоит развивать, чтобы завоевать доверие в группе

Psychologies
10 главных мифов о маникюре и уходе за ногтями: мнение ученого, работающего в бьюти-индустрии 10 главных мифов о маникюре и уходе за ногтями: мнение ученого, работающего в бьюти-индустрии

Какие мифы об уходе за ногтями являются самыми живучими

VOICE
Открыть в приложении