Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга

Наука и жизньНаука

Измеряя круг

Наталья Карпушина

Архимед — геометр. Старинная гравюра, 1740 год.

Преобразование круга в равновеликий ему квадрат, или квадратура круга, — самая знаменитая задача на построение из наследия древнегреческих математиков. Многих в ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Задача оказалась «крепким орешком» и для учёных, и для многочисленных любителей геометрии.

Непокорная задача

Непреодолимые трудности, с которыми сталкивался каждый, кто брался квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Известность задачи росла вместе с увеличением числа неудачных попыток отыскать её решение.

В древности квадратура круга приобрела популярность стараниями самих греков. В конце V века до н. э. «отец комедии» Аристофан даже шутил на эту тему. В его пьесе «Птицы» землемер Метон, известный в то время в Афинах астроном, геометр и инженер, орудуя чертёжными инструментами, предлагает афинянину Писфетеру распланировать основанный им между небом и землёй птичий город:

Здесь линейку я
Изогнутую приложу и циркулем
Отмерю расстоянье...
Затем прямую, тоже по линеечке,
Я проведу,
чтоб круг квадратом сделался.
Здесь, в центре, будет рынок.
К рынку улицы
Пойдут прямые...

«Ты Фалес поистине! — восклицает иронично Писфетер и гонит прочь Метона: — Ступай-ка ты отсюда по-хорошему... Здесь принято решение — бить мошенников».

Сдаётся мне, проницательный герой Аристофана выражает мнение тех математиков своего времени, которые усомнились в разрешимости квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, как того требовало условие задачи. А предложение Метона изогнуть линейку — намёк на попытки некоторых геометров отыскать окольный путь.

Архимед с помощью метода вписанных и описанных многоугольников показал, что в любой окружности её длина L превышает утроенный диаметр D менее чем на 1/7 его часть, но более чем на 10/71. Для отношения L к D он выбрал приближение 22/7, названное позже архимедовым числом. Или в современных обозначениях: 3,14084... < π < 3,14285... и π ≈ 3,14. Буквой π эту константу первым обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс. Сумей геометры получить отрезок длиной π, они легко построили бы треугольник с катетами R и 2πR, а затем и квадрат площадью πR2

Обманчивая простота

История квадратуры круга полна заблуждений и ошибок. Много веков эта обманчиво простая задача будоражила умы европейских учёных и не давала покоя малосведущим любителям. Всякая вспышка интереса к ней порождала «эпидемию квадратуры круга», как метко окрестил это явление один историк математики. Первой жертвой задачи в V веке до н. э. стал ионийский философ и математик Анаксагор, который, по словам античного писателя Плутарха, томясь в темнице, занимался геометрией и «начертал квадратуру круга». Если некое построение и было найдено, то всего лишь приближённое.

А вот как рассуждал философ-софист Антифон, современник Анаксагора. Впишем квадрат в круг и станем последовательно удваивать число его сторон. Когда оно будет достаточно велико, а сами стороны ничтожно малы, многоугольник совпадёт с кругом. Тем самым площади фигур уравняются. Для всякого правильного многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, значит, такое же построение возможно для круга.

Решение Антифона, конечно, не выдержало критики. А вот сама идея неограниченно приблизиться к кругу с помощью последовательности вписанных многоугольников оказалась небесполезной. Она легла в основу метода исчерпывания (применялся при вычислении площадей и объёмов), который разработал в IV веке до н. э. древнегреческий учёный Евдокс Книдский. Кстати, именно его ученик Динострат сумел точно квадрировать круг; правда, дело не обошлось без механической, то есть определённой не геометрически, а с помощью движения, кривой. Но подобные ухищрения геометров не устраивали, поскольку нарушали главное требование: чертить можно только прямые и окружности!

Древние греки рассмотрели также задачу о спрямлении окружности, идентичную квадратуре круга. В ней нужно построить отрезок, длина которого равна длине данной окружности. Впрочем, близкое родство двух этих задач математики выявили не сразу. Интересно, что ни та ни другая задача не упоминаются в «Началах» Евклида, где впервые была изложена общая теория геометрических построений и много внимания уделено свойствам окружности и круга.

В III веке до н. э. гениальный учёный и инженер Архимед Сиракузский строго доказал, что круг равновелик прямоугольному тре-угольнику, один катет которого равен радиусу, а другой — спрямлённой окружности, границе круга. Тем самым квадратура круга радиуса R свелась к построению отрезка длиной 2πR. Сам Архимед, кстати, мог проделать его с помощью исследованной им спирали. Если удастся построить с помощью циркуля и линейки отрезок длиной π ≈ 22/7, задача будет решена. Прошло более 2000 лет, прежде чем выяснилось, что это невозможно.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Введение в Теорию всего: просто – о главной цели современной физики Введение в Теорию всего: просто – о главной цели современной физики

В основе слова «физика» – древнегреческое φύσις, что означает «природа»

Naked Science
Обмену не подлежит? Обмену не подлежит?

Может ли косметика переставать действовать?

Лиза
Философский камень, или немного sapientia ex cupro Философский камень, или немного sapientia ex cupro

Идеи вечной жизни, молодости и излечения от всех болезней не умерли

Наука и жизнь
Поехали к своим Поехали к своим

Где на Руси хорошо отдохнуть?

Robb Report
Борьба с «врагами народа» Борьба с «врагами народа»

От древнеримских проскрипций до наших дней

Наука и жизнь
Преступление без наказания: 10 фильмов о нераскрытых убийствах Преступление без наказания: 10 фильмов о нераскрытых убийствах

Нестандартный детективы, в которых убийца так и не получил наказания

Cosmopolitan
Эволюция вселенной и открытие первой экзопланеты Эволюция вселенной и открытие первой экзопланеты

Нобелевский комитет обратил свой взор на работы, связанные с глубинами Вселенной

Наука и жизнь
Слушать кино: плей-лист режиссера Слушать кино: плей-лист режиссера

Подборке любимых саундтреков из кино от режиссера «Китобоя»

Esquire
Чай по-менделеевски Чай по-менделеевски

Кулинарные истории

Наука и жизнь
TikTok против Трампа: как соцсеть для подростков угодила в политический скандал, который мог стоить ей части бизнеса TikTok против Трампа: как соцсеть для подростков угодила в политический скандал, который мог стоить ей части бизнеса

Как TikTok победил в войне с Дональном Трампом, переживая корпоративную драму?

Forbes
Мощные вещи Мощные вещи

Какова движущая сила Четвертой промышленной революции?

РБК
Античную Гимеру защитили от карфагенян наемники Античную Гимеру защитили от карфагенян наемники

Исследователи проанализировали человеческие останки из могил V века до нашей эры

N+1
Леон Фелипе Леон Фелипе

Леон Фелипе - нормальный трагический поэт, обычный такой гений

Дилетант
Найденное письмо в бутылке могло быть написано пассажиркой «Титаника» Найденное письмо в бутылке могло быть написано пассажиркой «Титаника»

Возможно, ученые нашли первый артефакт с Титаника, обнаруженный на суше

National Geographic
«Сталин» гудлак «Сталин» гудлак

Александр Горбунов о том, почему спасение утопающих – дело рук самих утопающих

Esquire
«Паства не хочет видеть меня либералом». Что бывает со священниками, которые поддерживают оппозицию «Паства не хочет видеть меня либералом». Что бывает со священниками, которые поддерживают оппозицию

Зачем клирики РПЦ выступали в защиту оппозиции и как их наказывали?

СНОБ
Вот такие пироги: какую выпечку готовили в разных губерниях Вот такие пироги: какую выпечку готовили в разных губерниях

Знакомьтесь с историей русской выпечки и готовьте традиционные блюда

Культура.РФ
Вспомнить о важном: лучшие видео для начала дня Вспомнить о важном: лучшие видео для начала дня

7 вдохновляющих речей и один экшн без слов

Reminder
Жизнь у компьютера: физиология рук Жизнь у компьютера: физиология рук

Работа на компьютере тоже может сопровождаться травмами

Популярная механика
5 самых странных черных рынков нашей планеты 5 самых странных черных рынков нашей планеты

Неожиданные нелегальные товары, на которые существует огромный спрос!

Maxim
Анорексия: признаки, причины, перспективы лечения Анорексия: признаки, причины, перспективы лечения

Часто строгие диеты и переизбыток спорта приводят к анорексии

РБК
«Много обещаний, мало результата»: почему беспилотники не стали повсеместным транспортом, как обещали разработчики «Много обещаний, мало результата»: почему беспилотники не стали повсеместным транспортом, как обещали разработчики

Времени и денег на создание безопасных машин нужно еще много

VC.RU
Физики разобрались в метании «блинчиков» Физики разобрались в метании «блинчиков»

Новые исследования для аэрокосмической, морской и военной инженерии

N+1
Известные женщины, которые не сдались после травм, катастроф и нападений Известные женщины, которые не сдались после травм, катастроф и нападений

Пожар, ампутация, заболевания - такие испытания легли на плечи наших героинь

Cosmopolitan
Миссия Psyche – долгое путешествие, способное изменить жизнь на Земле Миссия Psyche – долгое путешествие, способное изменить жизнь на Земле

Психея – одно из самых необычных небесных тел в Поясе астероидов

Naked Science
Морщины или нет? Что такое кольца Венеры и как с ними бороться Морщины или нет? Что такое кольца Венеры и как с ними бороться

В чем причина появления колец Венеры и как с ними справиться?

РБК
«Кошачьи» кубиты сделали квантовый компьютер более отказоустойчивым «Кошачьи» кубиты сделали квантовый компьютер более отказоустойчивым

Связано это с тем, что коты Шредингера являются устойчивыми к переворотам

N+1
Не делай так: 5 привычек, из-за которых твое лицо стареет Не делай так: 5 привычек, из-за которых твое лицо стареет

5 привычек, которые помогут поддержать красоту и молодость лица

Cosmopolitan
Больше ни ногой! Главные рассадники модной безвкусицы, которых стоит избегать Больше ни ногой! Главные рассадники модной безвкусицы, которых стоит избегать

О трех самых беспощадных рассадниках безвкусицы

Cosmopolitan
Почему мы медлим с принятием решения: 6 причин и их последствия Почему мы медлим с принятием решения: 6 причин и их последствия

Почему нам так сложно принять решение

Psychologies
Открыть в приложении