История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина Роман Михайлов: Страна в то время быстро лепила себя, как из пластилина

Режиссер Роман Михайлов — о снах и сказочных 90-х

Ведомости
Подводные пирамиды и статуи «рептилоидов»: 20 самых загадочных объектов мира Подводные пирамиды и статуи «рептилоидов»: 20 самых загадочных объектов мира

Древний булыжник удивляет нас больше, чем компьютер размером в полладони

Вокруг света
Что скрывается за модным словом «роялти» ? Что скрывается за модным словом «роялти» ?

Пассивный доход на интеллектуальной собственности: как работает роялти?

Наука и техника
Новые миры Новые миры

Юбилей высадки на Луну – повод задуматься, куда и зачем мы можем полететь еще

Популярная механика
Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута» Не боги горшки обжигают: за что мы благодарны Михаилу Горшеневу из «Короля и Шута»

Семь вещей, за которые стоит поблагодарить Михаила Горшенева

Правила жизни
Чем ты это сказала? Чем ты это сказала?

Кто говорит с нами из колонок?

Men Today
«Тест на старика»: а вы сможете его пройти? «Тест на старика»: а вы сможете его пройти?

Если у вас есть пять минут, предлагаем испытать свои силы в тесте на старика

Maxim
Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать Почему скрипят тормоза у машины и что с этим делать

Почему возникает скрип тормозов и когда он действительно требует внимания

РБК
Анафилаксию при пищевой аллергии у мышей объяснили наследственностью Анафилаксию при пищевой аллергии у мышей объяснили наследственностью

Ученые разобрались в природе анафилактического шока при пищевой аллергии

N+1
Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос Чтобы изучать Вселенную, надо выходить в космос

Институт астрономии РАН запустит УФ-обсерваторию и создаст лунную базу

Наука и жизнь
Как написать в Ватсап без добавления контакта Как написать в Ватсап без добавления контакта

Разберем, написать в Ватсап без добавления номера в телефонную книгу

CHIP
Дрофа – степной реликт Дрофа – степной реликт

Все ли знают о самой крупной птице России? Это дрофа

Знание – сила
Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели Трагическая история Одри Мэнсон, первой американской супермодели

Путь первой американской супермодели Одри Мэнсон к славе

ТехИнсайдер
Есть ли жизнь на Марсе? Есть ли жизнь на Марсе?

Пройдемся по имеющимся фактам в вопросе о жизни на Марсе

Наука и техника
Токсик, и? Токсик, и?

Илья Соболев об отношениях с адреналином

Men Today
«Дом А. Ф. Лосева» «Дом А. Ф. Лосева»

О том, как создавалась уникальная структура Дома Лосева

Знание – сила
Полет Fram2 Полет Fram2

Командиром этого полета был Ван Чунь – миллионер, оплативший полет участников

Наука и техника
Хоббиномика: походы как способ перезагрузиться, вспомнить детство и победить страхи Хоббиномика: походы как способ перезагрузиться, вспомнить детство и победить страхи

Поход: сколько стоит ночевка в лесу и как избежать бытового дискомфорта в пути?

Forbes
Убить Лумумбу Убить Лумумбу

Патрис Лумумба был одним из самых мужественных лидеров своего поколения

Знание – сила
Кому следует соблюдать осторожность при употреблении меда Кому следует соблюдать осторожность при употреблении меда

Все знают, что мед нельзя детям до года, а кому еще стоит быть осторожнее?

ТехИнсайдер
«Не слияние, а бордель»: как создатели «Южного парка» стали миллиардерами «Не слияние, а бордель»: как создатели «Южного парка» стали миллиардерами

Как мультсериал для взрослых о четырех мальчиках стал прибыльным феноменом?

Forbes
Наука в фантастике: эпизоды истории Наука в фантастике: эпизоды истории

Сказочная повесть — фантастика с просветительской задачей

Наука и жизнь
«Год Черной Обезьяны»: семейная сага о первых постсоветских десятилетиях «Год Черной Обезьяны»: семейная сага о первых постсоветских десятилетиях

Отрывок из романа-размышления о том, как прошлое определяет будущее

Forbes
«Покажи ручку!» 3 причины приучить себя подавать сигналы рукой «Покажи ручку!» 3 причины приучить себя подавать сигналы рукой

Несколько важных причин подавать сигналы рукой, когда едешь на велосипеде

ТехИнсайдер
Леопардовые тюлени поют песни, похожие на детские стишки Леопардовые тюлени поют песни, похожие на детские стишки

Ученые обнаружили, что песни леопардовых тюленей похожи на детские стишки

ТехИнсайдер
Приманка для зумера: почему у молодежи меняется мотивация и как с этим работать Приманка для зумера: почему у молодежи меняется мотивация и как с этим работать

Как работодателям правильно воспринимать новые тенденции мотивации сотрудников

Forbes
Опасно ли прятаться в машине от грозы: это объяснение поймет даже школьник Опасно ли прятаться в машине от грозы: это объяснение поймет даже школьник

Если гроза застала вас в пути, чем станет машина – спасением или смертью?

ТехИнсайдер
«Налоговая лазейка» и верные клиенты: как Джеффри Эпштейн сделал свое состояние «Налоговая лазейка» и верные клиенты: как Джеффри Эпштейн сделал свое состояние

Хотите узнать способ, благодаря которому Джеффри Эпштейннакопил свое состояние?

Forbes
Самое голодное место в мире: что происходит в секторе Газа и можно ли это исправить Самое голодное место в мире: что происходит в секторе Газа и можно ли это исправить

Рассказываем, что происходит в Газе с продовольствием и что к этому привело

Forbes
Открыть в приложении