История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Уложила и забыла Уложила и забыла

Топ-5 средств, которые меньше всего портят свежесть укладки

Лиза
Палата номер секс Палата номер секс

Научные исследования обнаружили неожиданные целительные свойства секса

Maxim
Олимпийцы, за которыми мы будем следить в соцсетях Олимпийцы, за которыми мы будем следить в соцсетях

Десять фаворитов, за которыми стоит следить и на соревнованиях, и в соцсетях

Playboy
100 самых сексуальных женщин страны 100 самых сексуальных женщин страны

100 самых сексуальных женщин страны

Maxim
Странный тренд: уничтожать суперкары идиотскими способами Странный тренд: уничтожать суперкары идиотскими способами

Русские видеоблогеры ввели новую моду в соцсетях — портить супердорогие машины

Maxim
Тайное убежище: мужчины — о том, что помогает им в трудных ситуациях Тайное убежище: мужчины — о том, что помогает им в трудных ситуациях

Как в непростой период жизни обрести опору и душевное равновесие

Psychologies
История провала: как я открыл пекарню и закрыл ее через два месяца История провала: как я открыл пекарню и закрыл ее через два месяца

Открыть пекарню и закрыть ее через два месяца

Inc.
Гусеницы на плодах томатов вызвали электрическую активность в плодоножках Гусеницы на плодах томатов вызвали электрическую активность в плодоножках

Растения томатов отреагировали на появление травоядных гусениц на плодах

N+1
Путеводитель по Новой Третьяковке Путеводитель по Новой Третьяковке

Гид по Новой Третьяковке, где хранятся работы художников ХХ века

Культура.РФ
Дмитрий Астрахан: «Не иди на компромиссы, отстаивай свою точку зрения» Дмитрий Астрахан: «Не иди на компромиссы, отстаивай свою точку зрения»

Дмитрий Астрахан — о своей новой постановке и о вечных недоброжелателях

Эксперт
Площади — наши палитры Площади — наши палитры

Нижний Новгород уже стал модной точкой на туристической карте России

Vogue
Мой веселый, звонкий мяч Мой веселый, звонкий мяч

У тенниса появился серьезный конкурент

Tatler
Как сделать скриншот на макбуке: 3 простых способа Как сделать скриншот на макбуке: 3 простых способа

Скриншот с макбука: с помощью сочетания клавиш, встроенной и сторонних утилит

CHIP
Последняя поп-икона нулевых: как Эми Уайнхаус меняла музыку и погубила себя Последняя поп-икона нулевых: как Эми Уайнхаус меняла музыку и погубила себя

Как смерть певицы Эми Уайнхаус и ее наследие воспринимаются сейчас

Esquire
Сандра О: «Почему бы вам не?..» Сандра О: «Почему бы вам не?..»

Актриса Сандра О рассказала, как разнообразить свою жизнь

Harper's Bazaar
Биография хаоса Биография хаоса

«Заппа» — хулиганский и жестокий фильм о свободе и любви

Weekend
Игры со временем: фильмы, где всё идет не своим чередом Игры со временем: фильмы, где всё идет не своим чередом

Отличные фильмы о временных парадоксах. Взрыв мозга гарантирован!

Cosmopolitan
Создана первая подробная карта внутреннего строения Марса Создана первая подробная карта внутреннего строения Марса

Благодаря миссии Mars InSight была сконструирована карта строения Марса

National Geographic
Водка, лихие 90-е и «мой парень Ирина». Как фильм-путешествие по России «Купе №6» покорил Канны Водка, лихие 90-е и «мой парень Ирина». Как фильм-путешествие по России «Купе №6» покорил Канны

Одним из триумфаторов Каннского кинофестиваля стал фильм «Купе №6»

СНОБ
Мечтать (не) вредно. Как сделать фантазии реальностью? Мечтать (не) вредно. Как сделать фантазии реальностью?

Техника WOOP: от пустых грез — к достижению цели

Reminder
Путь к себе Путь к себе

Сати Казанова о том, как выглядит идеальный летний день

Grazia
Как микробы исправляют ошибки человека и очищают Землю от тяжелых металлов Как микробы исправляют ошибки человека и очищают Землю от тяжелых металлов

Микробы настолько умны, что научились использовать металлы для выработки энергии

Популярная механика
Новый тренд: люди мира все громче требуют права ремонтировать свою технику Новый тренд: люди мира все громче требуют права ремонтировать свою технику

Починить нельзя выбросить!

Maxim
Карта: Сколько людей с ожирением в разных странах мира Карта: Сколько людей с ожирением в разных странах мира

Оказывается, США еще не самая «толстая» страна в мире

Maxim
Почему накануне и в сам день рождения может быть плохо? Объясняет астролог Почему накануне и в сам день рождения может быть плохо? Объясняет астролог

За несколько недель до дня рождения всё как будто идет не так и валится из рук?

Cosmopolitan
Как изменилось искусство с приходом новых технологий Как изменилось искусство с приходом новых технологий

VR и AR и полное погружение в искусство – вплоть до запахов, звуков и ощущений

GQ
Творческое объединение «Кружок» Творческое объединение «Кружок»

Kruzhok первыми придумали сделать стритвир для евангелистов науки и техники

Собака.ru
7 исчезнувших видов спорта 7 исчезнувших видов спорта

Самые необычные виды спорта, которые были популярны у наших далеких предков

Maxim
Доходы растениеводов пока в плюсе Доходы растениеводов пока в плюсе

Несмотря на сложности прошлого сезона, участники рынка смогли неплохо заработать

Агроинвестор
Открыть в приложении