История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
Академик Петр Чумаков: вирусы позволяют увидеть раковые клетки и сформировать иммунный ответ Академик Петр Чумаков: вирусы позволяют увидеть раковые клетки и сформировать иммунный ответ

Вирусы дают надежду в лечении самых злокачественных видов рака

Наука
Сырная лавка: главные итальянские сыры Сырная лавка: главные итальянские сыры

Как и где производят итальянские сыры и с чем подают на стол

Вокруг света
Нехимические зависимости: что это такое, как их распознать и победить Нехимические зависимости: что это такое, как их распознать и победить

Вы просыпаетесь и сразу тянетесь к телефону?

Maxim
Осмий: тяжёлый, дорогой и совсем не пчела Осмий: тяжёлый, дорогой и совсем не пчела

Элемент с самой высокой плотностью

Наука и жизнь
Цветовые ошибки: как один оттенок способен испортить весь интерьер Цветовые ошибки: как один оттенок способен испортить весь интерьер

Какие ошибки в выборе цвета стен способны испортить весь интерьер?

VOICE
«Ревность о Севере: Прожектерское предпринимательство и изобретение Северного морского пути в Российской империи» «Ревность о Севере: Прожектерское предпринимательство и изобретение Северного морского пути в Российской империи»

Почему предпринимателей интересовала печорская древесина

N+1
Взять кредит и подумать Взять кредит и подумать

Банки будут выдавать кредиты от 50 000 рублей с «периодом охлаждения»

Ведомости
Жизнь без гаджетов Жизнь без гаджетов

Как прекратить сидеть в телефоне: 9 шагов к цифровой свободе

Лиза
Пушки или масло Пушки или масло

Как технологии двойного назначения помогли послевоенной конверсии

Эксперт
Крупным планом: что происходит с отечественным кинорынком Крупным планом: что происходит с отечественным кинорынком

Какое кино сейчас интересно зрителям в России?

Inc.
Одежда и надежды Одежда и надежды

Красивые книги о моде

Weekend
Как запустить посудомоечную машину первый раз — инструкция и советы Как запустить посудомоечную машину первый раз — инструкция и советы

Как правильно запускать посудомоечную машину первый раз?

CHIP
От «коробочек» — к нелинейной архитектуре От «коробочек» — к нелинейной архитектуре

Как может выглядеть архитектура XXI века?

Монокль
Суверенный интеллект Суверенный интеллект

Почему своя компонентная база — это вопрос национальной безопасности

Эксперт
Безмолвный пациент, или вакцинация в аквакультуре Безмолвный пациент, или вакцинация в аквакультуре

Кто, как и зачем вакцинирует рыб в аквахозяйствах?

Наука и жизнь
Маньяк ждет казни, пришельцы в Англии и другие романы августа Маньяк ждет казни, пришельцы в Англии и другие романы августа

Четыре романа, в которые можно окунуться с головой

Ведомости
В режиме «не беспокоить»: что такое синдром цифровой усталости, чем он опасен и как с ним бороться В режиме «не беспокоить»: что такое синдром цифровой усталости, чем он опасен и как с ним бороться

Как зумеры столкнулись с выгоранием от бесконечного скроллинга социальных сетей

Правила жизни
Особое мнение от народа Особое мнение от народа

Почти 40% россиян считают себя «особым народом»

Ведомости
Хватит на всё Хватит на всё

Как экономить в большой семье: советы по управлению домашним бюджетом

Лиза
Революция в мире моды: как технологии меняют нашу одежду Революция в мире моды: как технологии меняют нашу одежду

Как уже сейчас в новинках мира моды проявляются тренды гардероба будущего

Inc.
Почему дети не понимают эмоции взрослых Почему дети не понимают эмоции взрослых

Ученые выяснили, почему дети часто неправильно интерпретируют эмоции взрослых

ТехИнсайдер
Люди погубили 110 эндемичных видов растений и животных Макаронезии Люди погубили 110 эндемичных видов растений и животных Макаронезии

Человек уничтожил уже 110 эндемиков в Макаронезии

N+1
6 ошибок при глажке, которые портят ваши вещи — а вы и не догадываетесь 6 ошибок при глажке, которые портят ваши вещи — а вы и не догадываетесь

Чего не нужно делать при глажке, чтобы ваши вещи оставались целыми и невредимыми

ТехИнсайдер
Женское счастье Джулианны Мур Женское счастье Джулианны Мур

Джулианна Мур могла бы написать пособие, как стать самой яркой кинозвездой

Караван историй
Мускулы крылатой машины – система управления Мускулы крылатой машины – система управления

Как пилот заставляет слушаться машину в десятки тонн, контролируя ее в воздухе?

Наука и техника
Что такое отложенный налог на прибыль и зачем его учитывать Что такое отложенный налог на прибыль и зачем его учитывать

Как работает отложенный налог на прибыль

Inc.
Можно ли плавать в Apple Watch: разбираемся в нюансах умных часов компании Можно ли плавать в Apple Watch: разбираемся в нюансах умных часов компании

Можно ли плавать в Apple Watch? Давайте разбираться. Нюансов здесь хватает

ТехИнсайдер
Как Гарвард придумал систему отбора из-за неприязни к евреям и зачем ему спортсмены Как Гарвард придумал систему отбора из-за неприязни к евреям и зачем ему спортсмены

Какие механизмы ведут к сдвигам в поведении и убеждениях людей?

Forbes
Почему Хэнк Муди — главный антигерой поколения? Почему Хэнк Муди — главный антигерой поколения?

Кого и зачем сыграл Дэвид Духовны в «Californication»

Weekend
Открыть в приложении