История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
20 лучших мультфильмов всех времен (для любой возрастной категории) 20 лучших мультфильмов всех времен (для любой возрастной категории)

Лучшие мультфильмы — от диснеевских нетленок до культовой классики

Правила жизни
Невероятно, но... мясо Невероятно, но... мясо

Имитации мясных продуктов из растений и клеточных культур становятся модными

Популярная механика
Зачем кенгуру три влагалища и две матки? Такого вам не расскажут в школе Зачем кенгуру три влагалища и две матки? Такого вам не расскажут в школе

Говорят, что быть «немножко беременной» невозможно. Это вы скажите кенгуру

ТехИнсайдер
«Спектр-РГ» «Спектр-РГ»

Обсерватория для нового обзора неба

Наука и жизнь
Неофициальные шестидесятые: от СМОГа до «ахматовских сирот» Неофициальные шестидесятые: от СМОГа до «ахматовских сирот»

Неофициальная поэзия 1960-х: поэтические содружества и авторы-одиночки

Полка
Главная роль Кэтрин Зета-Джонс Главная роль Кэтрин Зета-Джонс

Свою главную и самую сложную роль она играет не на сцене или в кино, а в жизни

Караван историй
Что делать, если посудомоечная машина не сливает воду Что делать, если посудомоечная машина не сливает воду

Случаи, почему течет посудомойка, а также способы, как это исправить

CHIP
Дух свободы Дух свободы

Подчеркнуто мужское пространство со своей неповторимой атмосферой и харизмой

SALON-Interior
Кокни пацана Кокни пацана

«Джентльмены»: образцовый Гай Ричи в восьми сериях

Weekend
«Это я — Эдичка» — непонятый роман Эдуарда Лимонова «Это я — Эдичка» — непонятый роман Эдуарда Лимонова

Скандальный роман Эдуарда Лимонова, содержание которого понимают неправильно

СНОБ
Силиконовый остров Силиконовый остров

Как Тайвань стал главной мировой полупроводниковой державой

Деньги
«Задача трех тел»: удивительная научная фантастика от создателей «Игры престолов» «Задача трех тел»: удивительная научная фантастика от создателей «Игры престолов»

Какой получилась англоязычная экранизация азиатской фантастики «Задача трех тел»

Forbes
Хороший тон Хороший тон

Как добиться эффекта идеально гладкой сияющей кожи с помощью тональных средств

Лиза
Берегли вещь для особого случая? Используйте ее прямо сейчас! Берегли вещь для особого случая? Используйте ее прямо сейчас!

Выясняем, почему мы не используем то, что приобрели, и как с этим справиться

Psychologies
Старикам везде у нас почет Старикам везде у нас почет

Самые уважаемые автомобильные марки в современной России

Автопилот
Александр Коршунов: «Вдохновение должно приходить в назначенное время» Александр Коршунов: «Вдохновение должно приходить в назначенное время»

Режиссер Александр Коршунов — о новом спектакле и театре «Сфера»

Монокль
Простые способы сохранить зелень свежей в холодильнике Простые способы сохранить зелень свежей в холодильнике

Эффективные способы продлить свежесть зелени

ТехИнсайдер
За пределами привычного: нетрадиционные объекты интеллектуальной собственности и их особенности За пределами привычного: нетрадиционные объекты интеллектуальной собственности и их особенности

Виды нетрадиционных объектов интеллектуальной собственности и их значение

Наука и Техника
Фонотека Фонотека

Как первому альбому The Velvet Underground удалось не попасть во время

Правила жизни
3 причины для измены: анализируем каждую 3 причины для измены: анализируем каждую

Почему партнеры изменяют друг другу? И что делать, если вам изменили?

Psychologies
Кристина Кучеренко: «Я долго билась о дверь и выбила ее» Кристина Кучеренко: «Я долго билась о дверь и выбила ее»

Встал выбор: заниматься, несмотря на перелом, или уходить из балета

Коллекция. Караван историй
10 автомобилей, которые почти не изменились за десятки лет 10 автомобилей, которые почти не изменились за десятки лет

Некоторые модели становятся настоящими отступниками, которые не меняются годами

Maxim
Мокрое дело Мокрое дело

Действительно ли детский энурез так страшен и когда нужно срочно к врачу?

Лиза
ТОП-5 самых известных корейских автобрендов и их первые модели ТОП-5 самых известных корейских автобрендов и их первые модели

На мировом уровне корейский автопром заявил о себе лишь пару десятилетий назад

РБК
Прослушка: TumaniYO — об астраханском рэпе, рагге, MiyaGi и Эндшпиле Прослушка: TumaniYO — об астраханском рэпе, рагге, MiyaGi и Эндшпиле

TumaniYO — о том, чем отличается астраханский и владикавказский рэп

Правила жизни
Рождение литературного слова из духа математики Рождение литературного слова из духа математики

Сухово-Кобылина можно в полной мере считать «иксом», «невидимой величиной»...

Наука
Пожалей меня: как отличить нужду в сострадании от манипуляции Пожалей меня: как отличить нужду в сострадании от манипуляции

Когда можно отказать партнеру в помощи и как это сделать, не обидев его?

Psychologies
Ребенок разумный: выбираем оптимальную стратегию Ребенок разумный: выбираем оптимальную стратегию

Какие сферы жизни и развития ребенка сейчас стали слабым звеном?

Psychologies
«Такое может случиться с каждым»: 4 серьезных удара по нашей психике «Такое может случиться с каждым»: 4 серьезных удара по нашей психике

Почему стоит обращаться к психотерапевтам после травматичных событий в жизни?

Psychologies
Открыть в приложении