Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Люди людей еши» «Люди людей еши»

Неурожайные года и голод на Руси

Дилетант
Техника приготовления Техника приготовления

Кухня современного ресторана отличается от твоей примерно так, как МКС от телеги

Maxim
Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии

Что мы знаем о Николае Копернике?

Вокруг света
Периодические многоножки оказались обладателями жизненного цикла длиной в восемь лет Периодические многоножки оказались обладателями жизненного цикла длиной в восемь лет

Исследователи: японские многоножки имеют восьмилетние жизненные циклы

N+1
Чиа, он же испанский шалфей Чиа, он же испанский шалфей

Реклама полезных свойств «семян чиа» смущает многих

Наука и жизнь
Всем по потребностям: возможен ли мир без коммерции после 2020-го Всем по потребностям: возможен ли мир без коммерции после 2020-го

Крах капитализма в том виде, каком он есть сейчас, неизбежен

Forbes
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
По взаимному согласию. Как вернуть мужа в семью По взаимному согласию. Как вернуть мужа в семью

По взаимному согласию может быть даже несчастливый брак

СНОБ
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Топ-5 расслабляющих и успокаивающих видеоигр для ПК Топ-5 расслабляющих и успокаивающих видеоигр для ПК

Это подборка для тех, кто устал

Популярная механика
Бурлеск Самбурской Бурлеск Самбурской

Актриса, певица, дива, Самбурская, Настасья – все это о ней

Maxim
Звезды, виновные в гибели людей: Петренко, Бродерик и другие Звезды, виновные в гибели людей: Петренко, Бродерик и другие

Истории знаменитых людей, которые стали виновниками чьей-то гибели

Cosmopolitan
Голая правда Голая правда

Как похудеть к лету и срочно подкачаться к сезону футболок и поло?

Men’s Health
Дали ремня Дали ремня

Как успешный юрист основал маленькую мануфактуру по производству ремней

Robb Report
Русская Пруссия Русская Пруссия

75 лет назад в нашей стране появился новый регион — Кёнигсбергская область

Дилетант
«Вечная жертва»: устала постоянно спасать свою мать «Вечная жертва»: устала постоянно спасать свою мать

История о спутанности ролей, рассказанная дочерью и матерью

Psychologies
Эра человечности Эра человечности

Пандемия и удаленка меняют отношения между сотрудниками

Forbes
Как устранить последствия драки Как устранить последствия драки

Советы по первой помощи после драки от медсестры с десятилетним стажем

Maxim
Ученые показали нуклеазную функцию необходимого вирусу Эпштейна — Барр белка Ученые показали нуклеазную функцию необходимого вирусу Эпштейна — Барр белка

Раскрыт механизм, поддерживающий присутствие вируса Эпштейна — Барр в клетках

N+1
Что такое стиль «темная академия»? Рассказываем (вдруг вы не сидите в TikTok) Что такое стиль «темная академия»? Рассказываем (вдруг вы не сидите в TikTok)

Стилистические направления: реальные и изобретенные

Esquire
Как правильно мыть голову: важные правила, которые должна знать каждая Как правильно мыть голову: важные правила, которые должна знать каждая

Кажется, что может быть проще — вымыть голову!

Cosmopolitan
4 удивительных парадокса самовосприятия 4 удивительных парадокса самовосприятия

Исследуем парадоксы самовосприятия и отвечаем на каверзные вопросы

Maxim
Как правильно слушать свое тело? Рассказывает невролог Как правильно слушать свое тело? Рассказывает невролог

Невролог объясняет, как распознавать сигналы организма и не впадать в ипохондрию

Cosmopolitan
Брак не сложился: есть ли выход кроме развода? Брак не сложился: есть ли выход кроме развода?

Если супружество не приносит вам счастья, развод — не единственный выход

Psychologies
Однажды на диком Западе... Однажды на диком Западе...

Особенности менталитета жительниц Европы и Америки

Лиза
В Москве приступили к испытанию летающих такси В Москве приступили к испытанию летающих такси

На территории Лужников приступили к испытаниям дронов-такси Hover

Популярная механика
«Не внимая голосу совести» «Не внимая голосу совести»

«Око за око» — не лучший принцип для современного правосудия

Дилетант
Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге Красиво, но с натяжкой: все, что нужно знать о SMAS-лифтинге

Разбираем SMAS-подтяжку детально!

Cosmopolitan
50 оттенков черного: как Джим Джармуш оправдывает мнение о главном цвете в одежде художников 50 оттенков черного: как Джим Джармуш оправдывает мнение о главном цвете в одежде художников

Как можно разнообразно и классно одеваться, используя только один цвет

Esquire
Советский Союз Советский Союз

Дизайнер Алена Сковородникова иронично обыграла атрибуты советской эпохи

AD
Открыть в приложении