Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Первый лимузин Страны Советов, или С кого слизали ЗИС-101 Первый лимузин Страны Советов, или С кого слизали ЗИС-101

В проекте создания первого советского лимузина принимал участие Сталин

Maxim
Курултай для своих, деспотия для чужих Курултай для своих, деспотия для чужих

В Орде русские князья считались бесправными вассалами

Дилетант
Эти 6 фраз смягчат душевную боль того, с кем вы решили расстаться Эти 6 фраз смягчат душевную боль того, с кем вы решили расстаться

Учимся расставаться экологично и корректно говорить партнеру о разрыве

Psychologies
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Нужно ли беречь детей от непростой правды? Нужно ли беречь детей от непростой правды?

В какую форму облечь правду, чтобы поделиться ей с ребенком, не травмировав его

Psychologies
Распилить все поровну Распилить все поровну

Мадагаскар – одна из беднейших стран в мире

Вокруг света
В модном бизнесе появился новый тренд: бренды платят потребителям за то, что они носят их одежду В модном бизнесе появился новый тренд: бренды платят потребителям за то, что они носят их одежду

Бренды намерены бороться с чрезмерным потреблением

Inc.
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Дрожащая половина Дрожащая половина

Тебе знакомо чувство странной, иррациональной тревоги?

Cosmopolitan
К последнему морю К последнему морю

Почему Батый, покорив Русь, без передышки вторгся в Центральную Европу

Дилетант
«Не простила мать и не хочу за ней ухаживать»: история двух сестер «Не простила мать и не хочу за ней ухаживать»: история двух сестер

У наших героинь оказались разные воспоминания и о своем детстве, и о матери

Psychologies
Переменные величины Переменные величины

Как заработали состояние богатейшие селфмейдмены мира?

РБК
Почему не все любят ходить на работу Почему не все любят ходить на работу

Правда о вовлеченности сотрудников

kiozk originals
Юрий Кузнецов Юрий Кузнецов

Юрий Кузнецов глазами Дмитрия Быкова

Дилетант
Доходы и расходы в новых условиях: как бизнесу расставить приоритеты Доходы и расходы в новых условиях: как бизнесу расставить приоритеты

На чем можно сэкономить компании, чтобы остаться на плаву?

СНОБ
Буллет-джорнал: удобный способ планировать жизнь Буллет-джорнал: удобный способ планировать жизнь

Обычный блокнот может стать инструментом планирования, если его вести правильно

РБК
Открытка против голода Открытка против голода

«Спасите умирающих детей Поволжья»

Дилетант
Техника приготовления Техника приготовления

Кухня современного ресторана отличается от твоей примерно так, как МКС от телеги

Maxim
Карта: самая популярная еда, которую заказывают на дом в разных странах Карта: самая популярная еда, которую заказывают на дом в разных странах

Кто лидер рейтинга «Ой, что-то не хочется готовить, давай закажем доставку?»

Maxim
Гараж мечты Гараж мечты

Коллекционирование автомобилей — это не только радость от обладания

Robb Report
Архитектурные проекты прошлого, которые рассказывают о будущем Архитектурные проекты прошлого, которые рассказывают о будущем

Идеи будущего Ле Корбюзье, Эля Лисицкого, советских и зарубежных архитекторов

VC.RU
Лучшие книги о моде: что читать, чтобы развить в себе чувство стиля? Лучшие книги о моде: что читать, чтобы развить в себе чувство стиля?

Вдохновляющие книги о моде

Cosmopolitan
Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий

Все трудности, выпадающие на долю автопутешественника, нужно встречать с улыбкой

4x4 Club
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Звездное небо над головой: 10 фактов о созвездиях Звездное небо над головой: 10 фактов о созвездиях

Красивые, приятные и полезные факты о небе и созвездиях

Популярная механика
Бизнес-коуч на триллион долларов: каким был наставник основателей Google, Apple, Amazon и Twitter Бизнес-коуч на триллион долларов: каким был наставник основателей Google, Apple, Amazon и Twitter

Отрывок из книги о Билле Кэмпбелле, легендарном коуче Кремниевой долины

Forbes
Нейрохирург назвал 5 правил, которые нужно соблюдать, чтобы мозг работал лучше и быстрее Нейрохирург назвал 5 правил, которые нужно соблюдать, чтобы мозг работал лучше и быстрее

Пять практик, которые помогут сохранить мозг здоровым, а разум острым

Inc.
Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику

Эти знаменитые красавицы по сей день могут похвастаться идеальной внешностью

Cosmopolitan
Как объединить таблицы в Word: 4 способа Как объединить таблицы в Word: 4 способа

Даже у уверенных пользователей возникают проблемы в работе с таблицами в Ворде

CHIP
Открыть в приложении