На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Воздушный океан... Воздушный океан...

Мы все живём где-то на дне воздушного океана

Наука и жизнь
Андрей Губин, Чарли Шин и другие секс-символы прошлого, чьи карьеры разрушились Андрей Губин, Чарли Шин и другие секс-символы прошлого, чьи карьеры разрушились

Молодые и красивые знаменитости, карьеры которых разрушены

Cosmopolitan
Во всем мире Во всем мире

Деревянный спутник покоряет космос, а «таракан» — Луну

Знание – сила
«У меня всегда будут мои звезды»: как первая российская женщина-астроном встретила революцию «У меня всегда будут мои звезды»: как первая российская женщина-астроном встретила революцию

Отрывок из биографии женщины-астронома Нины Субботиной

Forbes
Великая подделка Габсбургов Великая подделка Габсбургов

На надгробии Фридриха III Габсбурга выбита аббревиатура AEIOU

Дилетант
В древнем погребальном храме найден фрагмент легендарной В древнем погребальном храме найден фрагмент легендарной

В древнеегипетском могильнике Саккара был обнаружен погребальный храм

Популярная механика
«Руководитель должен быть толерантным к ошибкам и нетолерантным — к бездействию»: карьерные советы главы Sony Music Russia «Руководитель должен быть толерантным к ошибкам и нетолерантным — к бездействию»: карьерные советы главы Sony Music Russia

Глава Sony Music Russia об эмоциях и особенностях работы в творческой индустрии

Forbes
«Булочки не блестят»: почему Burger King перешёл на плоский дизайн и чем этот стиль нравится брендам «Булочки не блестят»: почему Burger King перешёл на плоский дизайн и чем этот стиль нравится брендам

Burger King провел редизайн: объясняем, в чем его суть и специфика

VC.RU
Прототанки-2 Прототанки-2

А вот и продолжение галереи нерожденных монстров танкостроения!

Maxim
«Бывшие» 3 сезон: Полина Гагарина дебютирует на экране «Бывшие» 3 сезон: Полина Гагарина дебютирует на экране

Третий сезон сериала «Бывшие» интригует зрителей

Cosmopolitan
От пешки до королевы От пешки до королевы

Аня Тейлор-Джой и ее феноменальный успех

Караван историй
Зима будет долгой, но все обойдется Зима будет долгой, но все обойдется

Климат в нашей стране словно рассчитан на уничтожение неприятеля

Psychologies
11 увлекательных фактов о самой лучшей машине времени 11 увлекательных фактов о самой лучшей машине времени

Что ты знаешь о Delorean DMC-12?

Maxim
Кетодиета: инструкция по применению Кетодиета: инструкция по применению

Почему жирный рацион – самый эффективный и здоровый способ похудеть

Cosmopolitan
Дочирикался: как высказывания Трампа в Twitter влияли на рынки, компании и состояния Дочирикался: как высказывания Трампа в Twitter влияли на рынки, компании и состояния

Самые известные и неоднозначные твиты Трампа и то, как они влияли на рынки

Forbes

Книга Джорджа Оруэлла «1984» выходит в новом переводе Леонида Бершидского

Esquire
Починить всё, что угодно: история изоленты Починить всё, что угодно: история изоленты

Изоленту изобретали дважды, два разных человека и компании

VC.RU
«3 в 1»: из чего делают растворимый кофе «3 в 1»: из чего делают растворимый кофе

Разбираемся, из чего получают растворимый кофе, а заодно и сухое молоко

Популярная механика
Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику Все свое: Шэрон Стоун и другие звезды, которые никогда не делали пластику

Эти знаменитые красавицы по сей день могут похвастаться идеальной внешностью

Cosmopolitan
Эра человечности Эра человечности

Пандемия и удаленка меняют отношения между сотрудниками

Forbes
Клоачный кладоискатель и еще 6 самых жутких профессий викторианской эпохи Клоачный кладоискатель и еще 6 самых жутких профессий викторианской эпохи

Самые незавидные профессии викторианской эпохи

Maxim
Мы родом из «Ералаша»: памяти Бориса Грачевского Мы родом из «Ералаша»: памяти Бориса Грачевского

Вспоминаем кадры и фразы из «Ералаша», которые наполняют радостью наши сердца

Psychologies
«Никогда не знаешь, когда тебе придется исполнить свою последнюю песню»* «Никогда не знаешь, когда тебе придется исполнить свою последнюю песню»*

10 главных хитов The Doors на все времена

Esquire
Женская энергия: узнай, как стать настоящей богиней Женская энергия: узнай, как стать настоящей богиней

Хочешь узнать, как развить свою энергию и сделать её максимально сильной?

Cosmopolitan
6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом 6 способов наполнить праздничные дни добротой и смыслом

Длинные январские каникулы порой навевают тоску

Psychologies
Лео Бокерия — о режиме дня, спорте и профилактике заболеваний Лео Бокерия — о режиме дня, спорте и профилактике заболеваний

«Здоровье — это вопрос менталитета», уверен Лео Бокерия

РБК
Посторонним вход разрешен Посторонним вход разрешен

Дом второй половины XIX века после реставрации

AD
7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США 7 вещей, которые в России точно лучше, чем в США

Есть вещи, в которых мы однозначно побеждаем США

Maxim
Лучшие книги о моде: что читать, чтобы развить в себе чувство стиля? Лучшие книги о моде: что читать, чтобы развить в себе чувство стиля?

Вдохновляющие книги о моде

Cosmopolitan
Семейный бюджет: как правильно его вести, чтобы не развестись Семейный бюджет: как правильно его вести, чтобы не развестись

Психолог Анна Просветова рассказывает, как лучше строить семейный бюджет

Cosmopolitan
Открыть в приложении