На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Надышаться ветром Надышаться ветром

Мозаичное панно из рассказов жителей Хабаровска о приметах разных времен

Вокруг света
Слово и тело Слово и тело

Альва Клэр, Палома Элсессер, Эшли Грэм и Джилл Кортлев

Vogue
Антибликовое покрытие из белка и воска Антибликовое покрытие из белка и воска

Исследователи изучили наноструктуры, покрывающие роговицу глаз у мух дрозофил

Наука и жизнь
«Современный консерватизм — это мощная глобальная идеология» «Современный консерватизм — это мощная глобальная идеология»

Философ Дмитрий Узланер — об интересе к правой повестке по всему миру

Огонёк
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Семейный бюджет: как правильно его вести, чтобы не развестись Семейный бюджет: как правильно его вести, чтобы не развестись

Психолог Анна Просветова рассказывает, как лучше строить семейный бюджет

Cosmopolitan
Конец эпохи Аресибо Конец эпохи Аресибо

Cамый известный в мире радиотелескоп разрушился

Наука и жизнь
Лигр и тигон: зачем скрещивают кошачьих? Лигр и тигон: зачем скрещивают кошачьих?

Лигр, тигон, леопон и ягулеп – кажется, что эти слова выдумал ребенок

National Geographic
Виды на космос Виды на космос

Сложно сказать, когда человечество впервые захотело попасть в космос

Вокруг света
Невероятная история побега американского пилота Брюса Карра из немецкого тыла на немецком истребителе Невероятная история побега американского пилота Брюса Карра из немецкого тыла на немецком истребителе

Как в 20 лет американский пилот Брюс Карр угнал немецкий истребитель

Maxim
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
50 оттенков черного: как Джим Джармуш оправдывает мнение о главном цвете в одежде художников 50 оттенков черного: как Джим Джармуш оправдывает мнение о главном цвете в одежде художников

Как можно разнообразно и классно одеваться, используя только один цвет

Esquire
Так почему же ночью небо тёмное? Так почему же ночью небо тёмное?

Чтобы понять, почему небо темнеет ночью, нужно понять устройство Вселенной

Наука и жизнь
13 прекрасных событий ужасного 2020 года 13 прекрасных событий ужасного 2020 года

Уже привык к тому, что 2020 год – самый ужасный в истории человечества?

Maxim
Как получить налоговый вычет за лечение Как получить налоговый вычет за лечение

Рассказываем, как получить налоговый возврат за заботу о своем здоровье

РБК
Все о звездах сериала «Дочь посла»: личная жизнь, карьера и интересные факты Все о звездах сериала «Дочь посла»: личная жизнь, карьера и интересные факты

Как живут звезды популярной многосерийной ленты «Дочь посла»

Cosmopolitan
Как понять абракадабру в описании торрент-раздач фильмов Как понять абракадабру в описании торрент-раздач фильмов

Если нужный тебе фильм доступен только на торрент-трекере: инструкция для юзеров

Maxim
Восстановление метаболизма микроглии вернуло когнитивные способности стареющим мышам Восстановление метаболизма микроглии вернуло когнитивные способности стареющим мышам

Ключевой фактор, приводящий к потери когнитивных функций при старении

N+1
Джордж Оруэлл: 1984. Первая глава нового перевода Джордж Оруэлл: 1984. Первая глава нового перевода

Первая глава из антиутопии Джорджа Оруэлла «1984» в новом переводе

СНОБ
Прочнее дерева: как праздновать деревянную свадьбу и что на нее дарить Прочнее дерева: как праздновать деревянную свадьбу и что на нее дарить

Первый юбилей семейной жизни – деревянная свадьба. Что дарить и как отмечать?

Cosmopolitan
Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна

Физики пронаблюдали туннелирование Клейна с помощью акустических волн

N+1
10 продуктов, в которых много железа 10 продуктов, в которых много железа

Cписок продуктов, которые помогут восстановить уровень железа

РБК
Как Мелинда Гейтс превратила Microsoft в компанию, где не страшно произнести: «Я был неправ» Как Мелинда Гейтс превратила Microsoft в компанию, где не страшно произнести: «Я был неправ»

Отрывок из книги Мелинды Гейтс «Момент взлета»

Forbes
Хорватские аисты: невероятная история любви Хорватские аисты: невероятная история любви

История любви пары аистов, живущих в хорватском селе

National Geographic
«Родители бы разозлились»: миллениалы в Китае сбегают из городов в сёла, устав от выгорания на работе и в вузах «Родители бы разозлились»: миллениалы в Китае сбегают из городов в сёла, устав от выгорания на работе и в вузах

Коммуны «без иерархий», где молодые фрилансеры и дизайнеры занимаются ремеслом

VC.RU
15 правил совместной жизни, которые ты не обязан соблюдать 15 правил совместной жизни, которые ты не обязан соблюдать

Почему романтические идеалы вредны и как с ними бороться — советы психолога

Maxim
Косматые хомяки: ядовитая шерсть и удивительная нежность Косматые хомяки: ядовитая шерсть и удивительная нежность

Косматые хомяки очень общительны и ласковы друг с другом

National Geographic
Мед, лимон и цветок жасмина: пьем зеленый чай с пользой для здоровья Мед, лимон и цветок жасмина: пьем зеленый чай с пользой для здоровья

Объясняем, как заваривать и пить зеленый чай, чтобы получать от напитка пользу

Psychologies
Сергей Зверев, Илья Лагутенко и принцы — 15 знаменитых мужчин, служивших в армии Сергей Зверев, Илья Лагутенко и принцы — 15 знаменитых мужчин, служивших в армии

Кто из знаменитостей не только успел построить карьеру, но и отслужить в армии?

Cosmopolitan
Всем по потребностям: возможен ли мир без коммерции после 2020-го Всем по потребностям: возможен ли мир без коммерции после 2020-го

Крах капитализма в том виде, каком он есть сейчас, неизбежен

Forbes
Открыть в приложении