На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Чем дышат почвы и как они влияют на климат Чем дышат почвы и как они влияют на климат

Наверное, мало кто знает, что почвы участвуют в регуляции климата

Наука и жизнь
Игорь Садреев: «Преступники, мошенники и аферисты – это всегда люди талантливые» Игорь Садреев: «Преступники, мошенники и аферисты – это всегда люди талантливые»

Интервью с Игорем Садреевым — автором документального сериала «Авантюристы»

GQ
Границы адаптации Границы адаптации

Как повысить работоспособность космонавтов

Санкт-Петербургский университет
Олеся Рудакова: «Когда мама узнала, что в «Лапшине» будет играть Андрей Миронов, отказалась сниматься» Олеся Рудакова: «Когда мама узнала, что в «Лапшине» будет играть Андрей Миронов, отказалась сниматься»

Дочь актрисы Нины Руслановой рассказывает о своей маме и ее пути в кино

Караван историй
Сапог — оружие богатыря Сапог — оружие богатыря

Cвязаны ли в действительности Илия Печерский и легендарный герой Илья Муромец?

Дилетант
Астрономы обнаружили пять пульсаров-«пауков» Астрономы обнаружили пять пульсаров-«пауков»

Астрономы изучили миллисекундные пульсары и обнаружили среди них «пауков»

N+1
Так сейчас не делают: 10 фактов к юбилею лучшего «Мерседеса» в истории Так сейчас не делают: 10 фактов к юбилею лучшего «Мерседеса» в истории

Mercedes-Benz W123 — идеальный вариант приобщиться к классике

Maxim
20 вещей, которые должны быть у каждого холостяка 20 вещей, которые должны быть у каждого холостяка

Вещи истинного холостяка, который гордится своим статусом

Maxim
5 самых необычных вкусовых сочетаний 5 самых необычных вкусовых сочетаний

Есть сочетания продуктов, которые ты точно еще не пробовал — небольшой обзор

Maxim
Правильная мотивация: 3 инструмента, чтобы реализовать задуманное Правильная мотивация: 3 инструмента, чтобы реализовать задуманное

Эксперт — о том, как обеспечить себе ровную, уверенную, эффективную мотивацию

Psychologies
Все по‑старому Все по‑старому

Квартира площадью 84 м² в духе советского прошлого

AD
Домашний фитнес: как сделать тренировки дома максимально эффективными Домашний фитнес: как сделать тренировки дома максимально эффективными

Рассказываем о том, как правильно и эффективно тренироваться дома

Cosmopolitan
Миронов, Быченков и другие актеры, умершие на театральной сцене Миронов, Быченков и другие актеры, умершие на театральной сцене

История театра знает случаи, когда актеры заканчивали свои дни, играя на сцене

Cosmopolitan
Порно-реванш: почему мужчины делятся интимными фото и видео бывших подруг Порно-реванш: почему мужчины делятся интимными фото и видео бывших подруг

Разобрались, почему мужчины устраивают порно-месть своим бывшим девушкам

Psychologies
Cмешные твиты партнеров, которые любят питомцев больше, чем друг друга Cмешные твиты партнеров, которые любят питомцев больше, чем друг друга

Пользователи соцсетей — о том, что такое любовь к домашним животным

Psychologies
Обманывает ли меня фитнес-трекер: как работают программы подсчета сожженных калорий Обманывает ли меня фитнес-трекер: как работают программы подсчета сожженных калорий

Разбираемся, как фитнес-трекер считает калории и не обманывает ли он вас

Популярная механика
Темная сторона жены. Тест «Насколько хорошо ваша пара знает друг друга» Темная сторона жены. Тест «Насколько хорошо ваша пара знает друг друга»

Что ты знаешь о своей девушке? А что твоя девушка знает о тебе?

Maxim
Великие китайские застенки Великие китайские застенки

Битва двух крупных идеологий – это всегда неаппетитно, хотя иногда и грандиозно

Maxim
«Беременный силуэт» против «пауэр-дрессинга»: как мода 90-х возвращала женщине право на тело «Беременный силуэт» против «пауэр-дрессинга»: как мода 90-х возвращала женщине право на тело

Отрывок из книги Франчески Гранаты «Экспериментальная мода»

Forbes
Что делать с мотивацией? Что делать с мотивацией?

Кому из родителей не знакома проблема, когда их дети не хотят учиться?

СНОБ
Трудоустраивайся поудобнее! Как найти, соблазнить и занять работу мечты Трудоустраивайся поудобнее! Как найти, соблазнить и занять работу мечты

Как в этом огромном мире разнообразных работ найти свою идеальную работу

Maxim
Зена, Баффи и Сабрина: как выглядят сейчас актрисы подростковых сериалов Зена, Баффи и Сабрина: как выглядят сейчас актрисы подростковых сериалов

Как звезды знаменитых сериалов выглядят спустя десятилетия после завершения шоу?

Cosmopolitan
Как перестать ревновать свою девушку: подробное руководство Как перестать ревновать свою девушку: подробное руководство

Причины ревности и способы избавиться от этого чувства

Playboy
Василий Ян Василий Ян

Василий Ян глазами Дмитрия Быкова

Дилетант
Физики объяснили появление капель-многогранников в эмульсиях Физики объяснили появление капель-многогранников в эмульсиях

Ученые описали механизм изменения формы капель в эмульсиях типа «масло в воде»

N+1
Прочнее дерева: как праздновать деревянную свадьбу и что на нее дарить Прочнее дерева: как праздновать деревянную свадьбу и что на нее дарить

Первый юбилей семейной жизни – деревянная свадьба. Что дарить и как отмечать?

Cosmopolitan
Из чего состоит бизнес крупнейшего техноблогера и почему это похоже на Uber: интервью Маркеса Браунли для The Verge Из чего состоит бизнес крупнейшего техноблогера и почему это похоже на Uber: интервью Маркеса Браунли для The Verge

Главное из интервью Маркеса Браунли — одного из самых успешных техноблогеров

VC.RU
Авиапарк Юрского периода Авиапарк Юрского периода

Был ли самолет Можайского самолетом и другие курьезы из истории авиации

Maxim
«Технокопы» против Трампа: как IT-компании стали крупными политическими игроками «Технокопы» против Трампа: как IT-компании стали крупными политическими игроками

Превращая в маргиналов большие группы граждан, цензоры только ожесточат их

Forbes
Игра в пирамиду: о чем говорит происходящее вокруг GameStop Игра в пирамиду: о чем говорит происходящее вокруг GameStop

Почему случай GameStop не «победа простого народа», а финансовая пирамида

Forbes
Открыть в приложении