На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизньНаука

Число круче, чем π

Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), первооткрыватель числа е, один из основоположников теории вероятностей и математического анализа. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

Вопрос о том, кто открыл число е, до сих пор вызывает споры. Долгое время математики, фактически пользуясь этим числом, никак не могли его распознать. Однако потрясающая особенность е появляться в самых неожиданных контекстах и помогать с описанием самых разных природных, технических, экономических и демографических процессов привела к тому, что на сегодняшний день нет, пожалуй, области знаний, где бы оно не использовалось, а некоторые науки обязаны ему значительными успехами.

Прячущееся в логарифмах

Число е пришло в математику достаточно поздно, поскольку не имело геометрического происхождения в отличие от π, √2 или золотого сечения, известных ещё с древности. Неявно оно появилось практически одновременно с изобретением логарифмов в 1614 году, как основание одного из видов логарифмов, который лишь через полвека получил название натурального. Правда, у «отца» логарифмов шотландского математика Джона Непера логарифм был не совсем натуральный (его основание близко к 1/е), но уже в 1618 году в приложении к переводу его труда на английский язык появилась табличка из нескольких натуральных логарифмов, сделанная, вероятно, английским математиком и изобретателем логарифмической линейки Уильямом Отредом. А на следующий год другой англичанин, математик и преподаватель Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 и синусов под названием «Новые логарифмы…». В 1624 году создатель первых таблиц десятич-ных логарифмов профессор математики в Оксфорде Генри Бригс вычислил коэффициент, позволяющий связать десятичные логарифмы с натуральными. Фактически это был десятичный логарифм е.

Однако само число е тогда введено не было. Дело в том, что алгоритмы вычисления логарифмов того времени (см. статью «Его величество логарифм», «Наука и жизнь» № 5, 2020 г.) не предусматривали понятия их основания. То, что вычисляемые в те годы логарифмы были по основаниям десять (десятичные) или е (натуральные), стало понятно значительно позже. Более того, даже связь логарифмов с показателями степеней (y = logex; x = ey), с которой начинается их изучение в современной школе, была обнаружена значительно позже. Точно известно, что эту связь в 1684 году уже знал шотландский математик Джеймс Грегори, которого Исаак Ньютон называл в числе своих учителей и вдохновителей. Так что, когда в наше время е называют неперовым числом — это не вполне корректно. Непер не знал этого числа и даже не изобрёл собственно натуральный логарифм.

Любопытно, что термин «экспонента», сейчас прочно связанный с е, появился ещё раньше. Первым, кто использовал слово exponent в значении «показатель степени», был немецкий математик Михаэль Штифель — это понятие встречается в его книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году. Именно Штифель, по сути, предложил алгоритм вычисления логарифмов на основе сопоставления арифметической и геометрической прогрессий, использованный Непером. Но поскольку сам Штифель никаких вычислений не сделал, то слава первооткрывателя досталась шотландцу.

Слово «экспонента» происходит от латинского exponentis — «показывающий». Термин экспоненциальная, или показательная функция (кривая) для зависимости y = ax ввёл Лейбниц в 1679 году. В настоящее время функцию y = ax принято называть показательной, а название экспоненциальная функция (экспонента) закреплено за y = ex.

Логарифмы в отсутствии вычислительных машин играли огромную роль в вычислениях, облегчая и упрощая их. Неудивительно, что они были объектом пристального внимания многих учёных, в том числе фигур первой величины — Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница и Христиана Гюйгенса.

В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь фигуры, ограниченной осью х и гиперболой y = 1/x, изменяется от х по логарифмическому закону. С его лёгкой руки такие логарифмы стали называть гиперболическими. Однако никто тогда не догадался посмотреть, при каком x площадь такой фигуры равна 1 (а это будет как раз при x = e), так что e и в этот раз найдено не было.

Бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан выяснил, что площадь S(x) фигуры, ограниченной осью х и гиперболой , равна натуральному логарифму от значения х. Приведена современная запись этого утверждения в виде интеграла.

В 1668 году благодаря фундаментальному труду «Logarithmotechnia» немецкого математика Николаса Меркатора в научный язык входит термин «натуральный логарифм», но неуловимое число е по-прежнему остаётся в тени. (Кстати, современное обозначение «ln» по первым буквам слов «логарифм» и «натуральный» появилось лишь через 200 лет, в 1893 году его ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем.)

Число е как предел

Первым число е неожиданно вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли, решая задачу, никак не связанную с логарифмами. В 1690 году он опубликовал исследование так называемого сложного процента — дохода, составляющего определённый процент (р — процентная ставка, доля) от предоставляемой суммы денежных средств. При каждом очередном его вычислении учитывается исходная сумма вместе с начисленными ранее процентами. Таким образом, исходная сумма S0 после n начислений превращается в

S = (1 + p)n · S0.

Например, при годовой процентной ставке 100% (р = 1) исходная сумма по истечении года (n = 1) удваивается, и каждый рубль превращается в два. Но что будет с полученным доходом, если начислять процент чаще, но во столько же раз уменьшать процентную ставку? Например, если каждые полгода начислять по 50% (р = 0,5), то в конце года у вас вместо 1 рубля будет:

S = (1 + ½)2 · 1 руб. = 2,25 руб.

А если начислять каждый месяц, то

S = (1 + 1/12)12 · 1 руб. = 2,261303… руб.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов увеличивать бесконечно, то величина (1 + 1/n)n имеет предел, лежащий между 2,5 и 3. Это была первая грубая оценка числа е. Бернулли не представлял всей значимости полученного им результата, а потому не стал проводить длительные трудоёмкие вычисления, определяя это значение более точно. Он даже не дал ему никакого обозначения. А ведь именно этот предел теперь служит в математике определением числа е. В со-временных обозначениях:

Именно такую сумму даст 1 рубль за год, если начислять процент непрерывно.

Имя Якоба Бернулли также связано с натуральным логарифмом и числом e через изученные им свойства различных кривых. Правда, их связи с найденным пределом он не увидел, возможно, просто не успел, поскольку скончался в возрасте 50 лет. Любимым объектом изучения Бернулли стала так называемая логарифмическая спираль, современная формула которой записывается как ln r = kθ или r = ae, где a, b и k — константы. Именно Бернулли первым начал широко использовать при построении кривых полярные координаты (в них положение точки на плоскости описывается двумя числами: радиусом r и углом θ).

В отличие от спирали Архимеда, где витки идут через одинаковое расстояние, витки логарифмической спирали расходятся (расстояние между ними увеличивается). Она часто встречается в природе, её можно обнаружить в строении живых организмов, ураганов и даже галактик. Нашла логарифмическая спираль своё место и в искусстве как способ построения орнаментов и композиций. Так, великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер посвятил ей труд, где показывал, как строить и применять спираль для вычерчивания волют (завитков) капителей, побегов с листвой или украшений епископского жезла.

Рукава галактики M 51 в созвездии Гончие Псы представляют собой логарифмическую спираль. Иллюстрация: NASA/ESA/S. Beckwith (STScI)/Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, показывающий камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали (пунктирная синяя кривая). Иллюстрация: Dicklyon/Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0
Арка в форме цепной линии в шахском дворце Сасанидов Таки-Кисра (не позднее III века до н. э.) в одном из крупнейших городов античности Ктесифоне (в 32 км от современного Багдада, Ирак). Фото: Library of Congress’s Prints and Photographs/PD

Сейчас даже трудно представить, с какими сложностями сталкивались исследователи того времени, не имея в своём распоряжении современных форм математической записи и средств математического анализа. Задачи, которые в наше время за считаные минуты решит студент-первокурсник, требовали от них месяцев напряжённой работы и совершения открытий.

Логарифмическая спираль настолько восхитила Бернулли своими свойствами, что он называл её «spira mirabilis» — «удивительная спираль» и даже завещал выбить её на своём надгробии вместе с надписью «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я возрождаюсь такой же»), которая описывает свойство этой кривой сохранять свою форму после некоторых преобразований. Правда, тут история немного пошутила над математиком, необразованный мастер изобразил на надгробии спираль Архимеда…

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сверхкритическое состояние или умный текстиль? Сверхкритическое состояние или умный текстиль?

В Институте химии растворов им. Г. А. Крестова разрабатывают уникальный текстиль

Наука и жизнь
Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий Школа Автотуризма. Простые правила счастливых путешествий

Все трудности, выпадающие на долю автопутешественника, нужно встречать с улыбкой

4x4 Club
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Повелительницы красоты: 7 самых выдающихся женщин в бьюти-индустрии Повелительницы красоты: 7 самых выдающихся женщин в бьюти-индустрии

Эти прекрасные леди создали свои бьюти-империи

Cosmopolitan
Магнитная. Тайны космических всплесков Магнитная. Тайны космических всплесков

Магнетары — нейтронные звезды, помогающие раскрыть загадки космоса

Наука и жизнь
Стэнли Туччи о фильме «Супернова», тимпано и его вирусной рекламе Levi’s 1980-х Стэнли Туччи о фильме «Супернова», тимпано и его вирусной рекламе Levi’s 1980-х

Стэнли Туччи зарекомендовал себя как главный бонвиван Голливуда

GQ
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Интересные факты о Дэвиде Линче, подтвержденные совами лично Интересные факты о Дэвиде Линче, подтвержденные совами лично

Отобрали только факты о Дэвиде Линче, которые именно то, чем они кажутся

Maxim
Неизвестный минерал из вулкана Толбачик Неизвестный минерал из вулкана Толбачик

Сотрудники СПбГУ обнаружили новый минерал на территории вокруг вулкана Толбачик

Наука и жизнь
«Представьте, что вы на Burning Man»: как отдыхать на Байкале без вреда для природы, но с пользой для себя «Представьте, что вы на Burning Man»: как отдыхать на Байкале без вреда для природы, но с пользой для себя

Куда ехать и как отдохнуть с комфортом на Байкале?

Forbes
Кошачьи сходства, собачьи различия Кошачьи сходства, собачьи различия

Почему собачьих пород намного больше, чем кошачьих?

Наука и жизнь
Совместный полет Совместный полет

Как владельцы «Самолета» собрали крупнейший земельный банк и провели IPO

Forbes
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Как сделать первый шаг к переменам? 4 проверенных способа Как сделать первый шаг к переменам? 4 проверенных способа

Итак, мы решили что-то изменить. Как нам приступить к делу без промедления?

Psychologies
Трагедия изумрудного острова Трагедия изумрудного острова

Население Ирландии сократилось почти на треть после голода в середине XIX века

Дилетант
Мясорубка для чайников: 25 советов по выживанию на войне, в плену и в тюрьме Мясорубка для чайников: 25 советов по выживанию на войне, в плену и в тюрьме

Аркадий Бабченко — о своем опыте выживания в экстремальных ситуациях

Maxim
Переступить порог рейхстага Переступить порог рейхстага

История главного исторического здания Берлина

Наука и жизнь
Рождество: в ожидании чуда Рождество: в ожидании чуда

У Рождества всегда был ореол доброго чуда

Psychologies
Очарование легенды Очарование легенды

Наполеон сделал многое, чтобы придать своей личности образ сверхчеловека

Дилетант
Осторожно: гормоны стресса! Осторожно: гормоны стресса!

Как не позволять стрессу взять над тобой верх?

Лиза
«Тараканы и те интересны» «Тараканы и те интересны»

С Юрием Васнецовым каждый из нас знаком с детства

Дилетант
25 способов быстро похудеть 25 способов быстро похудеть

Чтобы распрощаться с лишним весом, тебе не придется ничего покупать

Maxim
«Я не плачу алименты»: Виталий Гогунский о разводе и тайном браке со студенткой «Я не плачу алименты»: Виталий Гогунский о разводе и тайном браке со студенткой

Виталий Гогунский впервые откровенно рассказал о семейной драме

Cosmopolitan
«В месяц уходит пять пар перчаток, потому что крабы кусаются»: чем занимается и сколько зарабатывает моряк-краболов «В месяц уходит пять пар перчаток, потому что крабы кусаются»: чем занимается и сколько зарабатывает моряк-краболов

Моряк-краболов — о своей работе, доходе и планах на жизнь

VC.RU
«Я ругаюсь после двух рюмок»: Меган Маркл призналась в своих главных слабостях «Я ругаюсь после двух рюмок»: Меган Маркл призналась в своих главных слабостях

Меган Маркл назвала вредные привычки, которые мешают ей в жизни

Cosmopolitan
Новая «Буханка». Семь безумных проектов фургона Новая «Буханка». Семь безумных проектов фургона

Самые интересные проекты по созданию «Буханки» нового поколения

РБК
Джонатан Литэм: Помутнение Джонатан Литэм: Помутнение

Отрывок из романа-игры Джонатана Литэма «Помутнение»

СНОБ
Недобрый дедушка: пятерка самых отвязных Санта Клаусов из рождественских фильмов Недобрый дедушка: пятерка самых отвязных Санта Клаусов из рождественских фильмов

Санта Клаус — это не добрый белобородый старик, и подарки он никому не дарит

Cosmopolitan
Своими руками: как сделать скраб в домашних условиях Своими руками: как сделать скраб в домашних условиях

Рецепты домашних скрабов, состоящие исключительно из натуральных продуктов.

Cosmopolitan
Сохранить отношения в год Быка: 3 приема для любящих партнеров Сохранить отношения в год Быка: 3 приема для любящих партнеров

Как научиться слышать близких и находить золотую середину

Psychologies
Открыть в приложении