Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Инвентаризация ценностей князя Юсупова Инвентаризация ценностей князя Юсупова

Князья Юсуповы были богатейшей семьёй России

Дилетант
Как лучшие оптические иллюзии обманывают твой мозг Как лучшие оптические иллюзии обманывают твой мозг

Чтобы обмануть мозг, нужно просто показать ему эти изображения

Maxim
Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии Коперникианская революция: 9 мифов об отце современной астрономии

Что мы знаем о Николае Копернике?

Вокруг света
«Ад: История идеи и ее земные воплощения» «Ад: История идеи и ее земные воплощения»

Какие формы в разное время принимали адские муки

N+1
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
«Дом-2» под снос: почему закончилась 16-летняя история реалити-шоу и ждать ли его возвращения «Дом-2» под снос: почему закончилась 16-летняя история реалити-шоу и ждать ли его возвращения

6066 дней, или 16,5 лет длилось реалити-шоу «Дом-2»

Forbes
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Как перестать ревновать свою девушку: подробное руководство Как перестать ревновать свою девушку: подробное руководство

Причины ревности и способы избавиться от этого чувства

Playboy
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Одна вокруг света: арест за парковку у Капитолия и зомби-апокалипсис по пути к Ниагаре Одна вокруг света: арест за парковку у Капитолия и зомби-апокалипсис по пути к Ниагаре

103-я серия о кругосветном путешествии москвички Ирины Сидоренко и ее собаки

Forbes
Пушкинская речь Пушкинская речь

Идейные антагонисты — Иван Тургенев и Фёдор Достоевский

Дилетант
Лихие 30-е. Как Владимир Путин пытался запугать участников Давосского форума Лихие 30-е. Как Владимир Путин пытался запугать участников Давосского форума

Для Запада призрак 1930-х если и актуален, то несколько иначе, чем для Путина

СНОБ
Электрическое поле помогает алмазам расти Электрическое поле помогает алмазам расти

С 1950-х годов алмазы получают искусственно

Наука и жизнь
Почему России нужны политические ток-шоу Почему России нужны политические ток-шоу

Нужно ли закрыть «политические говорильни» на отечественном телевидении?

СНОБ
Верхом на вихре Верхом на вихре

Возможное будущее гражданской авиации

Популярная механика
Павел Деревянко: «У меня снова перемены в личной жизни» Павел Деревянко: «У меня снова перемены в личной жизни»

Павел Деревянко о любимых сказках, суперсчастливом детстве и походе к психологу

Cosmopolitan
Узницы приютов Магдалины: как католические прачечные в Ирландии стали концлагерями для тысяч женщин Узницы приютов Магдалины: как католические прачечные в Ирландии стали концлагерями для тысяч женщин

Приюты Магдалины — сеть приютов, где женщины оказывались в рабском положении

Esquire
Что делать с мотивацией? Что делать с мотивацией?

Кому из родителей не знакома проблема, когда их дети не хотят учиться?

СНОБ
Что делают с ногами каблуки: деформированные стопы звезд Что делают с ногами каблуки: деформированные стопы звезд

Туфли с узким мыском и на высоком каблуке - самая вредная обувь!

Cosmopolitan
6 явных признаков успешного похудения, которые гораздо приятнее цифр на весах 6 явных признаков успешного похудения, которые гораздо приятнее цифр на весах

Признаки прогресса в похудении, которые говорят о том, что процесс идет хорошо

Playboy
Планета по имени Агния Планета по имени Агния

Далеко-далеко парит маленькая планета под номером 2279 и под названием Барто

Караван историй
«Технокопы» против Трампа: как IT-компании стали крупными политическими игроками «Технокопы» против Трампа: как IT-компании стали крупными политическими игроками

Превращая в маргиналов большие группы граждан, цензоры только ожесточат их

Forbes
Можайский, Сантос-Дюмон, братья Райт: кто первым изобрел самолет? Можайский, Сантос-Дюмон, братья Райт: кто первым изобрел самолет?

Кто же из пионеров авиации был самым первым?

Популярная механика
5 красочных фотографий буйства стихий 5 красочных фотографий буйства стихий

Живописным, нелепым и трагичным может быть столкновение человека и стихии

Maxim
Российские социологи предсказали обострение политической ситуации в США еще 10 лет назад. «Сноб» поговорил с одним из них Российские социологи предсказали обострение политической ситуации в США еще 10 лет назад. «Сноб» поговорил с одним из них

«‎Сноб» узнал, как будет развиваться ситуация в США и что ждет в будущем Россию

СНОБ
Особый пшик Особый пшик

Мы расскажем всю правду о правилах выбора ароматов

Лиза
Вечное перо Вечное перо

Февраль, стоит ему начаться, напоминает нам о таком явлении, как чернила

GQ
4 совета, как бегать зимой с удовольствием (да, это реально) 4 совета, как бегать зимой с удовольствием (да, это реально)

Бег в холодную погоду не обязательно должен причинять страдания

Playboy
В роли жилетки В роли жилетки

6 способов утешить подругу в беде

Лиза
Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять

Вторую годовщину свадьбы в России называют «бумажной», в США — «хлопковой»

Cosmopolitan
Открыть в приложении