Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«У нас нет хлеба, мы умираем» «У нас нет хлеба, мы умираем»

Массовый голод с человеческими жертвами в СССР случался неоднократно

Дилетант
Точный расчет Точный расчет

Учимся составлять финансовый план на год и переводить мечты в цели

Лиза
Playmate 2020 Playmate 2020

Полуфинал конкурса на самую горячую девушку по версии Playboy

Playboy
Евпатий Коловрат: сотворение героя Евпатий Коловрат: сотворение героя

Существовал ли Евпатий Коловрат

Дилетант
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Бен Аффлек, Брэд Питт и другие звездные хулиганы, которых не смог исправить брак Бен Аффлек, Брэд Питт и другие звездные хулиганы, которых не смог исправить брак

Может ли брак исправить алкоголика, наркозависимого или агрессивного мужчину?

Cosmopolitan
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Алексей Иванов: Тени тевтонов. Первая глава нового исторического романа Алексей Иванов: Тени тевтонов. Первая глава нового исторического романа

В романе Алексея Иванова «Тени тевтонов» переплетаются события 1457 и 1945 годов

СНОБ
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
10 лучших альтернативных источников энергии 10 лучших альтернативных источников энергии

Наша цивилизация нуждается в огромных количествах энергии, но где её добыть?

Популярная механика
Цивилизация Цивилизация

Они одними из первых освоили инженерию, завели армию, монархию и дипломатию

Вокруг света
Травля соседа, пропажа $2 млрд и низложение Джека Ма: крупнейшие скандалы 2020 года с участием миллиардеров Травля соседа, пропажа $2 млрд и низложение Джека Ма: крупнейшие скандалы 2020 года с участием миллиардеров

Самые нашумевшие скандальные истории, случившиеся с миллиардерами в 2020 году

Forbes
Джим-тоник Джим-тоник

Многогранность Джима Керри притягивает

Playboy
Короли российских танцполов 90-х: как изменились главные тусовщики страны Короли российских танцполов 90-х: как изменились главные тусовщики страны

Некоторые хиты остались неизменны в нашей памяти, чего не скажешь об их авторах

Cosmopolitan
Компьютерный мозг Компьютерный мозг

Как работают настоящие нейроморфные микросхемы

Популярная механика
«Эволюция красоты» «Эволюция красоты»

Отрывок из книги Ричарда Прама «Эволюция красоты» о теории полового отбора

N+1
Как выбрать правильное обручальное кольцо: 3 лайфхака для жениха и невесты Как выбрать правильное обручальное кольцо: 3 лайфхака для жениха и невесты

Эксперт дает советы по выбору обручальных колец

Cosmopolitan
Отрывок из книги Дэниела Киза «Элджернон, Чарли и я» Отрывок из книги Дэниела Киза «Элджернон, Чарли и я»

Отрывок из книги Дэниела Киза о его писательском пути

СНОБ
Девушка пригласила на свидание: 12 советов, как правильно реагировать парню Девушка пригласила на свидание: 12 советов, как правильно реагировать парню

Советы для парней, которые получили приглашение на свидание от девушки

Playboy
Пусть будет весело: 7 способов украсить наряд и не выглядеть нелепо Пусть будет весело: 7 способов украсить наряд и не выглядеть нелепо

Советы стилиста: как украсить одежду, если вы устали от минимализма

Cosmopolitan
Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна Физики получили прямое подтверждение парадокса Клейна

Физики пронаблюдали туннелирование Клейна с помощью акустических волн

N+1
3 лучших мода для Cyberpunk 2077: улучшают графику и фиксят баги 3 лучших мода для Cyberpunk 2077: улучшают графику и фиксят баги

Выбрали три мода, которые помогут справиться с багами в Cyberpunk 2077

CHIP
Трогательная история Трогательная история

Александра Потапова очень любит сложные по текстуре интерьеры

AD
Три главных тренда автомобильного рынка будущего Три главных тренда автомобильного рынка будущего

Что год грядущий готовит всем автомобилистам?

СНОБ
Отрывок из книги Арто Паасилинна «Тысяча Чертей пастора Хуусконена» Отрывок из книги Арто Паасилинна «Тысяча Чертей пастора Хуусконена»

Отрывок из первой главы романа финского писателя Арто Паасилинна

СНОБ
Как есть меньше сладкого во время праздников? 5 безболезненных лайфхаков Как есть меньше сладкого во время праздников? 5 безболезненных лайфхаков

Есть масса способов побаловать себя и без сладостей с высоким содержанием сахара

Playboy
10 бьюти-средств из советского прошлого — от «ленинградской» туши до «Балета» 10 бьюти-средств из советского прошлого — от «ленинградской» туши до «Балета»

Рассказываем о декоративной косметике, которой пользовались советские красавицы

Cosmopolitan
Отношения на расстоянии: как понять, стоит ли их продолжать Отношения на расстоянии: как понять, стоит ли их продолжать

Советы и чек-листы от психолога для тех, кто состоит в отношениях на расстоянии

РБК
Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов Как сделать таблицу в Ворде: 6 способов

Как вставить таблицу в Word, нарисовать ее или конвертировать из Excel

CHIP
«Мэнфри»: как живут женщины, отказавшиеся от отношений с мужчинами «Мэнфри»: как живут женщины, отказавшиеся от отношений с мужчинами

Почему женщины всё чаще отказываются от отношений

Cosmopolitan
Открыть в приложении