Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Пока огонь горит Пока огонь горит

Африка — колыбель человечества, а ЮАР — многонациональная и разнородная страны

Вокруг света
Новая «Буханка». Семь безумных проектов фургона Новая «Буханка». Семь безумных проектов фургона

Самые интересные проекты по созданию «Буханки» нового поколения

РБК
Чиа, он же испанский шалфей Чиа, он же испанский шалфей

Реклама полезных свойств «семян чиа» смущает многих

Наука и жизнь
Строитель единой Руси? Строитель единой Руси?

Деспотическая вертикаль Батыя на века осталась в управлении Московского царства

Дилетант
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
Почему хлеб есть вредно, а жир — полезно. Разрушаем самые популярные мифы о еде Почему хлеб есть вредно, а жир — полезно. Разрушаем самые популярные мифы о еде

Допросив диетологов, мы выяснили, что голодать после шести бессмысленно

Maxim
Частица или приставка? Частица или приставка?

«Не» — упрямая частица

Наука и жизнь
Внимание на экран Внимание на экран

Глава «Роскино» Евгения Маркова о санкциях и трудностях перевода

Tatler
Еда к радости: 5 чувств на кончике языка Еда к радости: 5 чувств на кончике языка

Почему тайская кухня — одна из самых вкусных в мире

Вокруг света
Не сходите с ума на работе Не сходите с ума на работе

Как создать спокойную компанию

kiozk originals
Одесса - Москва Одесса - Москва

Оксана Фандера откровенна только с интересными ей людьми

Esquire
Скользкая дорога Скользкая дорога

Новый рассказ Стивена Кинга

Esquire
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Каково это — поужинать с наркобароном Эль Чапо? Каково это — поужинать с наркобароном Эль Чапо?

Отрывок из книги о теневом международном наркобизнесе и тех, кто с ним борется

Esquire
Как избавиться от зимней тоски Как избавиться от зимней тоски

Методы скандинавов и японских макак помогут справиться с зимней тоской

Reminder
Вот это поворот! Спортивное вождение для чайников Вот это поворот! Спортивное вождение для чайников

Эксперт: как освоить навыки спортивного вождения для езды по городу

Maxim
Джим Керри, Савелий Крамаров, Бенни Хилл — комики с депрессией и тяжелой судьбой Джим Керри, Савелий Крамаров, Бенни Хилл — комики с депрессией и тяжелой судьбой

Комики, столкнувшиеся с душевными расстройствами и личными драмами

Cosmopolitan
«В каждой машине есть немного Нильса Болина»: тред о создании ремня безопасности и отказе Volvo зарабатывать на нём «В каждой машине есть немного Нильса Болина»: тред о создании ремня безопасности и отказе Volvo зарабатывать на нём

Перевод Twitter-треда основателя сервисов Macro и Gamer Sensei Анкита Харатхи

VC.RU
Бизнес без нервных срывов Бизнес без нервных срывов

Антон Кушнер: как войти в 2021 год с крепким ментальным здоровьем

РБК
Прикоснуться к сердцу Прикоснуться к сердцу

Завтрак съешь сам — этого правила неизменно придерживаются на юге Китая

Вокруг света
Девочки из нашего детства: судьбы юных героинь советского кино Девочки из нашего детства: судьбы юных героинь советского кино

Как сложилась жизнь юных актрис после славы?

Cosmopolitan
От невеликого до несмешного От невеликого до несмешного

Чиновники как герои современного российского кино

Огонёк
Как сэкономить на мазуте Как сэкономить на мазуте

Что заставит отечественных нефтепереработчиков искать выгодные технологии

Эксперт
Кухня в виртуальном, корпоративном и прочих измерениях Кухня в виртуальном, корпоративном и прочих измерениях

Как Первая мебельная фабрика разработала новую стратегию продаж в пандемию

Эксперт
Чай пуэр: как правильно заваривать и чем может быть полезен китайский напиток Чай пуэр: как правильно заваривать и чем может быть полезен китайский напиток

Потенциальные польза и вред чая пуэр, способы его заварки

Playboy
Квантовое превосходство Китая Квантовое превосходство Китая

Очередной год – и очередное сообщение о достижении «квантового превосходства»

Популярная механика
Зачем Россия спасает Никола Пашиняна Зачем Россия спасает Никола Пашиняна

Москва не хочет исправлять ошибки своей политики на постсоветском пространстве

СНОБ
«Мягкая интеграция»: что 2020 год изменил на постсоветском пространстве «Мягкая интеграция»: что 2020 год изменил на постсоветском пространстве

Интеграция на постсоветском пространстве будет продолжаться

Эксперт
Сны Заполярья Сны Заполярья

Моменты, когда реальность похожа на сон, не редкость в Арктике

National Geographic
Никто не Вуди Аллен: 10 малоизвестных шедевров режиссера Никто не Вуди Аллен: 10 малоизвестных шедевров режиссера

10 неожиданных картин Вуди Аллена, которые вы могли пропустить

Forbes
Открыть в приложении