Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Наши в Европе Наши в Европе

Советские физики и «революция вундеркиндов»

Наука и жизнь
Элвис Пресли и другие знаменитости, которых подозревают в фальсификации смерти Элвис Пресли и другие знаменитости, которых подозревают в фальсификации смерти

Эти знаменитости отказались от славы и инсценировали собственную смерть!

Cosmopolitan
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Как отпустить свое прошлое Как отпустить свое прошлое

Как действительно начать жизнь с чистого листа

Cosmopolitan
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
5 самых одиозных пари знаменитого авантюриста из Лас-Вегаса Амарилло Слима 5 самых одиозных пари знаменитого авантюриста из Лас-Вегаса Амарилло Слима

Этот «простоватый ковбой» обводил вокруг пальца самых богатых людей Америки!

Maxim
Дачное время Дачное время

Можно ли охватить несколькими предложениями дачный мир?

Наука и жизнь
Бизнес-кодекс: Андрей Трубников, основатель Natura Siberica Бизнес-кодекс: Андрей Трубников, основатель Natura Siberica

Андрей Трубников — о том, почему нельзя брать на работу бывших предпринимателей

Inc.
Чиа, он же испанский шалфей Чиа, он же испанский шалфей

Реклама полезных свойств «семян чиа» смущает многих

Наука и жизнь
Как заставить мозги работать: 8 действенных методов Как заставить мозги работать: 8 действенных методов

Мозгу пора просыпаться

Playboy
Русская Пруссия Русская Пруссия

75 лет назад в нашей стране появился новый регион — Кёнигсбергская область

Дилетант
Наноструктура цинк-марганцевого анода повысила долговечность экологичного аккумулятора Наноструктура цинк-марганцевого анода повысила долговечность экологичного аккумулятора

Ученые создали стабильный аккумулятор с водным электролитом

N+1
Виллами по воде. Экскурсия на озеро Комо Виллами по воде. Экскурсия на озеро Комо

Когда реальные путешествия невозможны, на помощь приходят виртуальные туры

Вокруг света
Живая природа Живая природа

Один из трендов в уходе за кожей – это косметика с пребиотиками и пробиотиками

Лиза
Иванушка и удаленушка Иванушка и удаленушка

15 советов, как сохранить отношения на расстоянии

Maxim
OneZero: анонимные издатели зарабатывают на Spotify $1 млн в год, загружая шумы вентиляторов и другие звуки на сервис OneZero: анонимные издатели зарабатывают на Spotify $1 млн в год, загружая шумы вентиляторов и другие звуки на сервис

Авторы, создающие белый шум, нашли способ зарабатывать деньги на стриминге

VC.RU
Материнское выгорание: почему нам кажется, что мы недостаточно хорошие мамы Материнское выгорание: почему нам кажется, что мы недостаточно хорошие мамы

Ты чувствуешь себя недостаточно хорошей матерью?

Cosmopolitan
Вечные двигатели рок-н-ролла Вечные двигатели рок-н-ролла

Новый альбом AC/DC рвет хит-парады: это новость 1975 или 2021 года?

GQ
Как победить страх упущенных возможностей с помощью часов и Арианы Гранде. Лайфхаки от человека, придумавшего FOMO Как победить страх упущенных возможностей с помощью часов и Арианы Гранде. Лайфхаки от человека, придумавшего FOMO

Отрывок из книги Патрика Макгинниса «FOMO sapiens»

Inc.
Несостоявшийся путч в США Несостоявшийся путч в США

События в Америке последних лет — прямое следствие долгой истории раскола

СНОБ
Нейрохирург назвал 5 правил, которые нужно соблюдать, чтобы мозг работал лучше и быстрее Нейрохирург назвал 5 правил, которые нужно соблюдать, чтобы мозг работал лучше и быстрее

Пять практик, которые помогут сохранить мозг здоровым, а разум острым

Inc.
Светлые головы: звездные блондинки и их образование Светлые головы: звездные блондинки и их образование

Стереотип об интеллекте блондинок всего лишь миф — доказывают жизненные примеры

Cosmopolitan
Сергей Зверев, Илья Лагутенко и принцы — 15 знаменитых мужчин, служивших в армии Сергей Зверев, Илья Лагутенко и принцы — 15 знаменитых мужчин, служивших в армии

Кто из знаменитостей не только успел построить карьеру, но и отслужить в армии?

Cosmopolitan
Желтые розы в память о любви: как живут вдова и дочь Александра Абдулова Желтые розы в память о любви: как живут вдова и дочь Александра Абдулова

Как сложилась жизнь дочери Александра Абдулова и его вдовы?

Cosmopolitan
Как устроен ансамбль камерной музыки Simple Music Ensemble Как устроен ансамбль камерной музыки Simple Music Ensemble

Коллектив серьезных музыкантов считает, что нужно смотреть на все проще

РБК
Физики описали еще один способ получения энергии из черных дыр Физики описали еще один способ получения энергии из черных дыр

Физики: найден новый способ извлечь энергию из вращающейся черной дыры

N+1
Круглый камень из израильской пещеры оказался древнейшим шлифовальным инструментом Круглый камень из израильской пещеры оказался древнейшим шлифовальным инструментом

Булыжник, найденный в пещере Табун, использовался для абразивной обработки

N+1
Говядина из травы: за год россияне съели искусственного мяса на 2,6 млрд рублей Говядина из травы: за год россияне съели искусственного мяса на 2,6 млрд рублей

Аналитики впервые оценили рынок альтернативного мяса в России

Forbes
Вопросы – это ответы Вопросы – это ответы

Как искать прорывные идеи и решать сложные проблемы на работе и в жизни

kiozk originals
5 съедобных блюд, которые готовятся меньше 298 секунд 5 съедобных блюд, которые готовятся меньше 298 секунд

Оказывается, за пять минут можно создать целый шедевр на сковородке!

Maxim
Открыть в приложении