Преобразование фигур стало главной темой математических исследований да Винчи

Наука и жизньИстория

Геометрия в стиле да Винчи

Наталья Карпушина

Портрет Леонардо да Винчи, предположительно работы Франческо Мельци. 1510—1512 годы.

Один историк искусства как-то посетовал на то, что Леонардо да Винчи тратил талант и время на многочисленные рисунки, увлёкшись своей «геометрической игрой». Речь шла о задаче на преобразование криволинейных фигур в многоугольники, надолго поглотившей внимание художника. Леонардо с таким мнением вряд ли согласился бы: игра эта была интеллектуальной, усилия оказались ненапрасными, а на коллекцию рисунков имелись кое-какие планы. И вообще, преобразование фигур и тел стало главной темой его математических исследований.

Квадратура луночек

Как геометр и как художник Леонардо да Винчи с увлечением изучал плоские фигуры, ограниченные дугами окружностей. Страницы его записных книжек пестрят чертежами, где изображены луночки, «лепестки», сегменты и прочие криволинейные фигуры вкупе с кругами и многоугольниками, их образующими. Одни рисунки выполнены от руки, другие с помощью инструментов. Некоторые из них напоминают цветочные узоры и используются как элементы орнамента. Годами Леонардо пытался преобразовать одни фигуры в другие и придумывал новые, всё более сложные их комбинации, этакие импровизации на тему пленившей его задачи. Даже собирался написать книгу «О геометрической игре», посвящённую приёмам, которые, как он считал, обеспечат бесконечное разнообразие квадратур криволинейных фигур. Иными словами, для каждой из них можно будет построить многоугольник такой же площади. Леонардо да Винчи — один из первых европейских учёных, кто заинтересовался этой проблемой.

Преобразование луночек и других фигур. Леонардо да Винчи. Атлантический кодекс. Иллюстрация:codex-atlanticus.it

Долгое время его занимали круговые луночки — серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей. Их рассматривали ещё античные учёные, пытаясь осуществить квадратуру круга «по частям». В V веке до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский, автор первых «Начал» (до нас труд не дошёл), открыл три вида квадрируемых луночек, позже названных его именем. Это были первые криволинейные фигуры, которые удалось преобразовать в равновеликие им многоугольники. К главной цели Гиппократ ничуть не приблизился, а математикам последующих поколений досталась ещё одна занятная тема для исследований.

В эпоху Возрождения квадратура луночек рассматривалась уже как самостоятельная задача, а вопрос об их количестве оставался открытым. Из современников да Винчи её касался итальянский гуманист Джорджо Валла. В 1501 году в Венеции вышла составленная им энциклопедия разных наук, и одна из статей рассказывала о гиппократовых луночках. Очевидно, из этой книги художник и узнал о знаменитой задаче древности.

Леонардо экспериментировал с самой простой луночкой, у которой внешний обвод — полуокружность, а внутренний — четверть окружности. Её можно получить так: вписать в полукруг равнобедренный треугольник и внутри него на гипотенузе построить сегмент, подобный сегментам, отсекаемым катетами. Другой способ построения ещё проще. Нужно взять четверть круга и вне его на хорде, соединяющей концы радиусов, описать как на диаметре полуокружность. Нетрудно убедиться, что в обоих случаях луночка и треугольник равновелики. Гиппократу приписывают доказательство теоремы: сумма площадей двух луночек, примыкающих к катетам равнобедренного прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника. Интересно, что в конце XIX века один историк математики увязал происхождение квадратуры этой луночки с распространённым орнаментом из пяти пересекающихся кругов. В этом узоре четыре внешние луночки равновелики квадрату, вписанному в большой круг. Такую же и подобные ей конфигурации детально изучал и Леонардо-геометр.

Простейшая гиппократова луночка (1, 2); чертёж к теореме Гиппократа (3); элемент древнего орнамента с луночками (4).

Теорема Гиппократа покорила и вдохновила да Винчи, и тот обобщил её на случай произвольного прямоугольного треугольника. Пятью веками ранее то же самое сделал арабский учёный Ибн аль-Хайсам, более известный европейцам под именем Альхазен, с чьим трактатом «Квадратура круга», где давалось аналогичное его собственному доказательство, Леонардо не был знаком, то есть получил такой же результат независимо от аль-Хайсама. Так что можно записать это, в общем-то, скромное по меркам геометрии достижение и на счёт мастера да Винчи. Правда, на большее в то время рассчитывать было нельзя. Впоследствии теорией круговых луночек занимались Франсуа Виет, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие известные и не очень математики. В XVIII столетии задача Гиппократа из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, тогда же были найдены ещё две квадрируемых луночки. Среди всех знаменитых задач древности, включая квадратуру круга, именно она оказалась самой неприступной крепостью, ибо продержалась дольше всех. Точка в истории её покорения была поставлена лишь в середине XX века, когда наконец удалось доказать: существует только пять видов квадрируемых круговых луночек.

Криволинейные преобразования треугольника и пирамиды. Леонардо да Винчи. Мадридский кодекс. Иллюстрация: leonardo.bne.es

Геометрия, доказываемая движением

Одними только построениями дело не ограничилось. Леонардо рассматривает также равносоставленные фигуры и пользуется тем, что они равновелики. При этом действует в духе Евклида, по учебнику которого постигал геометрию: оперирует самими площадями, а не числами, что их выражают, представляя площадь как часть плоскости, заключённую в данной фигуре. Само преобразование сводится к перекраиванию исходной фигуры — разрезанию её на конечное число частей и составлению из них новой фигуры. Ясно, что от простой перестановки фрагментов их суммарная площадь не изменится. Геометры прежних веков применяли указанный приём, имея дело с многоугольниками: при доказательстве теоремы Пифагора, в задачах на деление площадей прямыми линиями и пр. С той же целью к нему прибегали и математики эпохи Возрождения.

А вот Леонардо пошёл дальше и приспособил этот приём к криволинейным фигурам. Вот простой, но показательный пример. Обычный треугольник он преобразует в криволинейный, отрезая с одной стороны фигуры сегмент и приставляя его к другой стороне. Как решить задачу технически — это уже другой вопрос, тут важна сама идея. Ничто не мешает проделать то же самое с квадратом. И вот уже среди рисунков мастера появляются... криволинейные «пифагоровы штаны», этакое обобщение знаменитой теоремы в стиле да Винчи. Серия эскизов позволяет даже проследить их «эволюцию». Точно так же, перейдя от плоских фигур к объёмным, он будет пробовать перекроить многогранники. Да, геометрия Леонардо — во многом эмпирическая наука, а сам он в первую очередь практик и экспериментатор; зачастую поиск решения и конечный результат занимают его больше всего.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Карабах не выдержит двоих Карабах не выдержит двоих

Если ты ничего не понимаешь в армяно-азербайджанском конфликте, читай эту статью

Maxim
ГМО повсюду: самые странные примеры генной инженерии ГМО повсюду: самые странные примеры генной инженерии

Генетическая инженерия занимается не только продуктами питания

Популярная механика
Подписание акта о капитуляции Японии Подписание акта о капитуляции Японии

Токийский залив, борт линкора «Миссури», 2 сентября 1945 года

Дилетант
Российские музыканты — о стихах и времени Осипа Мандельштама Российские музыканты — о стихах и времени Осипа Мандельштама

Участники трибьют-альбома «Сохрани мою речь навсегда» — об Осипе Мандельштаме

РБК
Открытие, получившее признание через век Открытие, получившее признание через век

Владимир Буткевич первым задался проблемой соотношения бактерий

Наука и жизнь
5 красочных фотографий буйства стихий 5 красочных фотографий буйства стихий

Живописным, нелепым и трагичным может быть столкновение человека и стихии

Maxim
Число круче, чем π Число круче, чем π

На сегодняшний день нет области знаний, где бы число е не использовалось

Наука и жизнь
Смертельно опасно: как сходить в сауну и остаться в живых Смертельно опасно: как сходить в сауну и остаться в живых

В России принято считать, что «баня — залог долгих лет»

Популярная механика
Чиа, он же испанский шалфей Чиа, он же испанский шалфей

Реклама полезных свойств «семян чиа» смущает многих

Наука и жизнь
Фильм «Охотник на монстров» – веселое и безмозглое зрелище Фильм «Охотник на монстров» – веселое и безмозглое зрелище

Перед обаянием фильма «Охотник на монстров» просто невозможно устоять

GQ
Отечественный лук незаменим! Отечественный лук незаменим!

Веками наша страна славилась замечательным репчатым луком народной селекции

Наука и жизнь
Анне Катрине Боман: Агата Анне Катрине Боман: Агата

Глава из книги Анне Катрине Боман о жизни уставшего от работы психотерапевта

СНОБ
Гнев небес Гнев небес

Взрыв сверхновой поблизости от Земли способен уничтожить почти все живое

Вокруг света
Из шприца по фашистам — самый несерьезный автомат Второй мировой Из шприца по фашистам — самый несерьезный автомат Второй мировой

Не подмажешь — не постреляешь…

Maxim
Королева водорослей Королева водорослей

Как превратить природный мусор на пляже в искусные и долговечные предметы?

Вокруг света
Старостильники: юлианский календарь как норма веры Старостильники: юлианский календарь как норма веры

Рождество по юлианскому календарю обречено превращаться в летний праздник

Weekend
Как рожденная в СССР «принцесса» Анголы стала владельцем активов на $3 млрд Как рожденная в СССР «принцесса» Анголы стала владельцем активов на $3 млрд

Изабель душ Сантуш была богатейшей женщиной Африки, пока ее активы не заморозили

Forbes
Когда уходят в детство Когда уходят в детство

Как понять, что у твоих дедушек и бабушек начались проблемы?

Maxim
Внимание на экран Внимание на экран

Глава «Роскино» Евгения Маркова о санкциях и трудностях перевода

Tatler
5 черт людей с низким эмоциональным интеллектом 5 черт людей с низким эмоциональным интеллектом

Что свойственно людям с низким эмоциональным интеллектом?

Psychologies
Секретарь Республики Секретарь Республики

Нормальная жизнь Никколо ди Бернардо деи Макиавелли оборвалась 16 декабря 1512 г

Наука и жизнь
Каталог проституток Эдинбурга XVIII века, который написал редактор «Британники» Каталог проституток Эдинбурга XVIII века, который написал редактор «Британники»

Каталог проституток под названием «Беспристрастный список дам для удовольствия»

Maxim
Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять Бумажная свадьба: как отмечать, что дарить и как поздравлять

Вторую годовщину свадьбы в России называют «бумажной», в США — «хлопковой»

Cosmopolitan
Даниил Галицкий, изворотливый король Даниил Галицкий, изворотливый король

В Галицко-Волынском княжестве монголы впервые не смогли взять одну из крепостей

Дилетант
Что делать, если тебе смертельно надоела твоя работа Что делать, если тебе смертельно надоела твоя работа

Выгореть на работе может любой из нас

Maxim
Отвечает финансист Отвечает финансист

Что такое ответственное инвестирование и как оно влияет на доход инвесторов?

Robb Report
Дочь Майкла Джексона и еще 5 детей погибших звезд: как сложились их судьбы Дочь Майкла Джексона и еще 5 детей погибших звезд: как сложились их судьбы

Чем занимаются дети умерших звезд?

Cosmopolitan
«Настя, соберись!»: как в одном человеке уживаются несколько личностей и что будет, если они поругаются «Настя, соберись!»: как в одном человеке уживаются несколько личностей и что будет, если они поругаются

Новый проект «Кинопоиска» — ситком о девушке с диссоциативным расстройством

Forbes
Ресторан Собчак и караоке «Руки вверх»: зачем звезды идут в гастробизнес Ресторан Собчак и караоке «Руки вверх»: зачем звезды идут в гастробизнес

Ресторанный бизнес и звезды: кому удалось стать успешным, а кто проиграл

РБК
Почему женщины редко становятся шеф-поварами и с какой травлей они сталкиваются Почему женщины редко становятся шеф-поварами и с какой травлей они сталкиваются

Шеф-повар Алена Солодовиченко о том, как искала подход к коллегам-мужчинам

GQ
Открыть в приложении