Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Виртуальная трансмиссия Виртуальная трансмиссия

Полноприводные автомобили могут обходиться без механических узлов

Quattroruote
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Летнее кино: пять хороших французских фильмов о любви Летнее кино: пять хороших французских фильмов о любви

В последние дни лета Forbes Life призывает наверстывать упущенное

Forbes
Самый быстрый «единорог» в истории: сервис онлайн-мероприятий Hopin за год вырос с нуля до оценки в $2,1 млрд Самый быстрый «единорог» в истории: сервис онлайн-мероприятий Hopin за год вырос с нуля до оценки в $2,1 млрд

Выручка стартапа за полгода выросла в 50 раз — с $450 тысяч до $25 млн

VC.RU
Дина Рубина: «Человеческие драмы нельзя подгонять под термины» Дина Рубина: «Человеческие драмы нельзя подгонять под термины»

Искренний разговор с писательницей Диной Рубиной

Psychologies
25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины 25 вещей, которые на самом деле ненавидят женщины

Эта статья поможет тебе прожить чуть более счастливую и долгую жизнь

Maxim
Чем заняться на выставке Faces&Laces Чем заняться на выставке Faces&Laces

В эти выходные, 18 и 19 августа, в Парке Горького пройдет выставка Faces&Laces

Esquire
Здоровы ли ваши гены? Прогноз генетика Здоровы ли ваши гены? Прогноз генетика

Как развивается малыш в первом триместре, чего стоит опасаться в этот период

9 месяцев
Как обманывают при покупке автомобиля с пробегом Как обманывают при покупке автомобиля с пробегом

Как разузнать все больные места машины с пробегом на первом же свидании

Maxim
Квасной патриот Квасной патриот

Как сибиряк начал строить заводы по производству кваса в России и за рубежом

РБК
Голова профессора Витгенштейна: история величайшего философа XX века Голова профессора Витгенштейна: история величайшего философа XX века

Человечеству Людвиг Витгенштейн запомнился как величайший философ XX века

Maxim
Что будет дальше с Телецким озером? Что будет дальше с Телецким озером?

На благоустройство Телецкого озера выделят более 100 миллионов рублей

National Geographic
Летучие ирландцы Летучие ирландцы

На Аранских островах до сих пор живут так, как жили древние кельты

Вокруг света
Тибетский лабиринт Пржевальского Тибетский лабиринт Пржевальского

Экспедиции Пржевальского в Центральную Азию

GEO
Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!» Григорий Константинопольский: «Мне десять лет никто не давал ничего снимать!»

Мы задали Григорию Константинопольскому десятка полтора вопросов

Maxim
Серебряный возраст. Как остаться востребованным сотрудником на пенсии Серебряный возраст. Как остаться востребованным сотрудником на пенсии

Какой план действий нужно разработать прежде, чем вас сочтут «профнепригодным»

Forbes
Фотопарад в Угличе: как это было Фотопарад в Угличе: как это было

Итоги Международного фестиваля фотографии в Угличе

National Geographic
6 подпольных советских миллионеров 6 подпольных советских миллионеров

О них не было статей в Forbes — для них были статьи Уголовного кодекса

Maxim
Трудности перевода. Как мир относится к Армении после революции Трудности перевода. Как мир относится к Армении после революции

Как мир относится к Армении после революции

Forbes
Лучшие фотографии птиц с конкурса Bird Photographer of the Year Лучшие фотографии птиц с конкурса Bird Photographer of the Year

Лучшие фотографии птиц с конкурса Bird Photographer of the Year

Esquire
Гений или мясник: кровавые эксперименты «отца современной гинекологии» Гений или мясник: кровавые эксперименты «отца современной гинекологии»

Джеймс Марион Симс — одна из самых противоречивых фигур в истории медицины

Cosmopolitan
В доме, где резной палисад В доме, где резной палисад

Вологда. Уютный городок, с любовью хранящий свою историю

АвтоМир
В Сочинском парке объявлена охота на енотов В Сочинском парке объявлена охота на енотов

Еноты стали причинять вред обитателям Сочинского национального парка

National Geographic
Как перестать страдать, даже если все плохо Как перестать страдать, даже если все плохо

Если поддаться разрушительным мыслям, можно скатиться в состояние неудачника

Psychologies
Высокотемпературный скандал: действительно ли открыта комнатная сверхпроводимость Высокотемпературный скандал: действительно ли открыта комнатная сверхпроводимость

Открытие индийских физиков грозит перевернуть энергетику

Forbes
Как люди с высоким эмоциональным интеллектом справляются с гневом Как люди с высоким эмоциональным интеллектом справляются с гневом

Как научиться правильно выражать чувства и находить компромиссы

Psychologies
«Космос уже обжит для туризма» «Космос уже обжит для туризма»

Интервью с Самантой Кристофоретти, первой побывавшей на орбите итальянкой

Огонёк
Ваша беременность: 15 советов молодых мам Ваша беременность: 15 советов молодых мам

Иногда нужная информация может за считанные минуты изменить жизнь к лучшему

Домашний Очаг
Машина времени | Утопия на воде Машина времени | Утопия на воде

Утопия на воде

Мир Фантастики
Открыть в приложении