Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Грехи Грехи

Мужчины, которые обеспечили себе место в аду, зарабатывая состояние и признание

Esquire
Осторожнее, британцы! Осторожнее, британцы!

У главного британского внедорожника появится преемник в 2019-м

Quattroruote
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Семен Слепаков собрал звезд на презентации своего нового сериала

Cosmopolitan
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Взгляд отца: что он значит для мальчика? Взгляд отца: что он значит для мальчика?

Взгляд отца играет огромную роль в становлении личности ребенка

Psychologies
Парижский синдром: почему у японских туристов, приезжающих во Францию, развиваются психические расстройства Парижский синдром: почему у японских туристов, приезжающих во Францию, развиваются психические расстройства

Почему японцы болеют "парижским синдромом" и стоит ли его опасаться туристам

Esquire
Работа по профилю Работа по профилю

Главному злодею Голливуда Ха­вьеру Бар­дему наконец досталась положительная роль

GQ
Айс-рекорд Айс-рекорд

Как Валдис Пельш с командой раскопал заброшенные полярные станции

Вокруг света
Почему бренды упрощают логотипы Почему бренды упрощают логотипы

У Burberry новая айдентика

Esquire
5 лучших упражнений, чтобы иметь спину, как у Геракла 5 лучших упражнений, чтобы иметь спину, как у Геракла

5 лучших упражнений, чтобы иметь спину, как у Геракла

Playboy
7 явных признаков тихого насилия 7 явных признаков тихого насилия

Не хотите быть жертвой — научитесь распознавать эмоциональное насилие

Psychologies
Британские ученые выяснили, как много выпивают их соотечественники Британские ученые выяснили, как много выпивают их соотечественники

Производителям алкоголя невыгодны "умеренные" уровни употребления спиртного

Популярная механика
Марина Яковлева. Счастливая Марина Яковлева. Счастливая

Актриса Марина Яковлева не сумела удержать единственную большую любовь

Караван историй
Как восстановить поврежденные суставы: союз медицины и 3D-печати Как восстановить поврежденные суставы: союз медицины и 3D-печати

Теперь поврежденный сустав можно просто… напечатать «под человека»

Популярная механика
Лучшие друзья девушек: как появились первые вибраторы Лучшие друзья девушек: как появились первые вибраторы

Полтора века назад вибратор использовался исключительно в медицинских целях

Cosmopolitan
Обидно, досадно… да ладно! Обидно, досадно… да ладно!

Лучше простить обидчика, чем копить негатив и портить свое здоровье

Лиза
Юлий Гусман: «Жить без работы скучно!» Юлий Гусман: «Жить без работы скучно!»

Юлий Гусман признался, какое событие совсем недавно произошло в его семье

StarHit
Как бодипозитив меняет пляжную моду Как бодипозитив меняет пляжную моду

Отныне размер не имеет значения

Vogue
7 лучших фильмов с Эдвардом Нортоном 7 лучших фильмов с Эдвардом Нортоном

Эдвард Нортон появился на свет 18 августа 1969 года

Maxim
6 причин, почему девушки говорят, что все в порядке, когда на самом деле это не так 6 причин, почему девушки говорят, что все в порядке, когда на самом деле это не так

Ответ на вопрос «Почему женщины говорят, что все в порядке, когда это не так?»

Playboy
10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе 10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе

Родители, проходящие через развод, должны внимательно следить за словами

Psychologies
16 невероятных водопадов мира, от которых может снести крышу (в прямом смысле) 16 невероятных водопадов мира, от которых может снести крышу (в прямом смысле)

Водопады — это магия, волшебство, чистейшая концентрация счастья

Playboy
Лидерами становятся... Лидерами становятся...

Учредитель компании Toy.ru Алиса Лобанова об истории своего успеха

OK!
Бросить институт ради любви?! Бросить институт ради любви?!

Моя дочь, поступившая в престижный вуз, не придет в этот день на учебу

Лиза
Сделка лета: сколько Галицкий заработал на продаже Смолова Сделка лета: сколько Галицкий заработал на продаже Смолова

Подробности главного трансфера лета-2018 в Российской премьер-лиге

Forbes
Сверхчеловек: бета-версия Сверхчеловек: бета-версия

Биохакеры пытаются редактировать гены при помощи собственных изобретений

Esquire
Компания-владелец «ВКонтакте» и «ОК» попросила Госдуму амнистировать осужденных за лайки и репосты Компания-владелец «ВКонтакте» и «ОК» попросила Госдуму амнистировать осужденных за лайки и репосты

Mail.ru Group воззвала к Верховному суду, Минюсту и Татьяне Москальковой

Maxim
Wow-эффект Wow-эффект

Куда отправиться за классным снимком

Cosmopolitan
Денег не будет Денег не будет

Экспертный взгляд на будущее мира финансов

Robb Report
Открыть в приложении