Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Сила мысли Сила мысли

Как можно работать с мыслями — и почему стоит это делать

Yoga Journal
Светлая голова Светлая голова

Матери русской светской революции Ульяне Цейтлиной пятьдесят

Tatler
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
Сказочник, подаривший нам друзей детства: вспоминаем творчество Эдуарда Успенского Сказочник, подаривший нам друзей детства: вспоминаем творчество Эдуарда Успенского

14 августа в возрасте 80 лет умер Эдуард Успенский

Esquire
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Любой каприз Любой каприз

Компьютерный дизайн материалов

Популярная механика
Исследование показало, что видеоигры не оказывают негативного влияния на мозг детей, а наоборот, повышают их IQ Исследование показало, что видеоигры не оказывают негативного влияния на мозг детей, а наоборот, повышают их IQ

Дети, активно играющие в видеоигры, имеют высокий уровень умственной активности

Inc.
Обувь плюс носки: как делать можно и как нельзя Обувь плюс носки: как делать можно и как нельзя

Как сочетать носки с обувью

Cosmopolitan
Драма рубля Драма рубля

В последние полтора года российской экономике везло с нефтяными ценами

Forbes
Вкусный Петербург: летний сезон в «Кококо» Вкусный Петербург: летний сезон в «Кококо»

В ресторане «Кококо» продолжается горячий летний сезон

Cosmopolitan
Цивилизация: игра либидо с самим собой Цивилизация: игра либидо с самим собой

Михаил Эпштейн размышляет о способности к многоступенчатому наслаждению

Psychologies
10 малоизвестных производителей самолётов Канады 10 малоизвестных производителей самолётов Канады

В Канаде далеко не одна фирма, производящая самолёты на любой вкус

Популярная механика
Как выжить после ядерного удара Как выжить после ядерного удара

Как действовать, если в вашем распоряжении считаные часы

Популярная механика
Надежда Михалкова о режиссерском дебюте, тинейджерстве и двойной жизни Надежда Михалкова о режиссерском дебюте, тинейджерстве и двойной жизни

Надежда Михалкова рассказывает, как cидится в режиссерском кресле

Vogue
Еще раз влюбиться и перестать бояться новых отношений Еще раз влюбиться и перестать бояться новых отношений

Что делать, если после развода отношения не складываются

Домашний Очаг
Перейти Рубикон: как компании готовятся к закату нефтяной эры Перейти Рубикон: как компании готовятся к закату нефтяной эры

Сектор ископаемого топлива играет важную роль в экономике многих стран

Forbes
Ученые назвали человека канцерогенным видом Ученые назвали человека канцерогенным видом

Деятельность человека приводит к росту заболеваемости раком среди диких животных

Популярная механика
«Намного легче прорекламировать товар, чем событие». Павел Тарелкин — о механизмах таргетированной рекламы «Намного легче прорекламировать товар, чем событие». Павел Тарелкин — о механизмах таргетированной рекламы

Что такое таргетированная реклама и насколько она эффективна сегодня

СНОБ
Картонная инженерия Даниеля Агдага Картонная инженерия Даниеля Агдага

Австралийский художник Даниель Агдаг делает скульптуры из картона

Популярная механика
Как правильно сообщать плохие новости Как правильно сообщать плохие новости

Как правильно сообщать плохие новости

Maxim
7 занимательных подробностей о фильме «Побег из Шоушенка» 7 занимательных подробностей о фильме «Побег из Шоушенка»

Поначалу «Побег из Шоушенка» почти не заметили...

Maxim
Большие каникулы в Сен-Тропе Большие каникулы в Сен-Тропе

Игрушечные пистолеты против карманников и незавидная судьба шиншилл

StarHit
Движение и дыхание Движение и дыхание

Что надо знать про Аштанга-йогу и как начать практику

Yoga Journal
Великие и Ужасные: 13 незабываемых сцен из фильмов Тима Бертона Великие и Ужасные: 13 незабываемых сцен из фильмов Тима Бертона

«Самые-самые» моменты «самых-самых» фильмов Тима Бертона

Playboy
Покоряются моря Покоряются моря

Телеведущий Иван Чуйков решил показать весь мир своей маме!

OK!
Пришли за  Путиным. Чем грозят Кремлю новые санкции США Пришли за  Путиным. Чем грозят Кремлю новые санкции США

Новый пакет санкций может внести Россию в список стран-спонсоров терроризма

Forbes
Вредные привычки, которые ты не замечаешь Вредные привычки, которые ты не замечаешь

Вредные привычки, которые ты не замечаешь

Cosmopolitan
Мы будем жить теперь по-новому Мы будем жить теперь по-новому

Как создать уют красиво и недорого

Лиза
Юлия Ефременкова: «Для меня пример – Ксюша Бородина» Юлия Ефременкова: «Для меня пример – Ксюша Бородина»

Ведущая «Дома‑2» на ТНТ впервые об отношениях с бывшим

StarHit
«Я живу одна»: какие плюсы в отсутствии соседей по квартире? «Я живу одна»: какие плюсы в отсутствии соседей по квартире?

Каково это — жить одной в квартире?

Psychologies
Открыть в приложении