Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Криптовалюты. Поколение второе Криптовалюты. Поколение второе

От «цифрового золота» к полноценным деньгам

Популярная механика
Почему модные бренды не делают обувь больших размеров Почему модные бренды не делают обувь больших размеров

Модель Джесс Коул рассказала Vogue, как она находит подходящую пару туфель

Vogue
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Паны вернулись Паны вернулись

Пенсии и реформы глазами последних русских на деревне

Русский репортер
Украденные технологии: что человечество заимствует у природы Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Украденные технологии: что человечество заимствует у природы

Forbes
Toyoya C-HR. Эксцентрик Toyoya C-HR. Эксцентрик

Новый мини-кроссовер Toyota C-HR

АвтоМир
Энергия вместо долга Энергия вместо долга

Как получилось, что США оказалась на грани дефолта?

Ведомости
«Нельзя быть все время успешным». Правила бизнеса Виктора Вексельберга «Нельзя быть все время успешным». Правила бизнеса Виктора Вексельберга

Виктор Вексельберг — о деньгах, источнике удовольствия и справедливости

Forbes
Из помазанников Божьих в святые мученики Из помазанников Божьих в святые мученики

Расстрел царской семьи — едва ли не самый хорошо исследованный сюжет

Дилетант
Юбилейный Syntposium: от Тобиаса Фройнда до Кати Шилоносовой Юбилейный Syntposium: от Тобиаса Фройнда до Кати Шилоносовой

В Москве пройдет международный фестиваль музыкальных изобретений Synthposium

Maxim
Работа мечты: как правильно откликаться на вакансию Работа мечты: как правильно откликаться на вакансию

Иногда вакансия настолько интересна, что человек начинает немного сходить с ума

Forbes
На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды

Физики обнаружили ранее неизвестное свойство воды, связанное с транспортом ионов

Forbes
Как организовать идеальный  пикник Как организовать идеальный  пикник

Еще можно успеть выйти из дома и добежать до ближайшей поляны

Maxim
10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе 10 фраз, которые нельзя говорить детям при разводе

Родители, проходящие через развод, должны внимательно следить за словами

Psychologies
Анализы мочи: расшифровываем результаты Анализы мочи: расшифровываем результаты

Для чего проверяют уровень основных показателей анализа мочи

9 месяцев
Смерть автора, экономика даров и прочие понятия, которые ты должен знать Смерть автора, экономика даров и прочие понятия, которые ты должен знать

Вторая часть статьи о временах постмодерна, в которых мы живем

Maxim
Люксовый и нежный Zверь Люксовый и нежный Zверь

Аренда люксовых товаров — главный тренд будущего

GQ
Skoda Superb II: чешское темное Skoda Superb II: чешское темное

Запас прочности Skoda Superb II

АвтоМир
Агент влияния Агент влияния

Как работает главный современный кинокритик России Евгений «BadComedian» Баженов

РБК
Как подобрать вино к девушке Как подобрать вино к девушке

Мы предлагаем новый, прогрессивный метод определения, что вы будете пить

Maxim
Облико морале Облико морале

Зачем люксовые бренды инвестируют в культурное наследие

Robb Report
Типология детей, которым будет трудно учиться в школе Типология детей, которым будет трудно учиться в школе

Не всем легко подружиться со сверстниками и адаптироваться к требованиям школы

Psychologies
Обидно, досадно… да ладно! Обидно, досадно… да ладно!

Лучше простить обидчика, чем копить негатив и портить свое здоровье

Лиза
Не святой Петр Не святой Петр

Сергей Минаев поговорил с Петром Авеном о несбывшихся мечтах 1990-х

Esquire
7 явных признаков тихого насилия 7 явных признаков тихого насилия

Не хотите быть жертвой — научитесь распознавать эмоциональное насилие

Psychologies
Открыт грибок, превращающий насекомых в «зомби» Открыт грибок, превращающий насекомых в «зомби»

Биологи из Калифорнии открыли грибок, проникающий в мозг плодовых мушек-дрозофил

Популярная механика
Как выиграть в гонке со временем: 4 упражнения Как выиграть в гонке со временем: 4 упражнения

Почему бешеный темп портит нам жизнь и как научиться замедлять время

Psychologies
Из отпуска с подарком: паразитический червь обживает Средиземноморье Из отпуска с подарком: паразитический червь обживает Средиземноморье

Биологи разгадали тайну происхождения паразита, появившегося в Южной Европе

Forbes
Агрессивные девственники: появятся ли инцелы в России? Агрессивные девственники: появятся ли инцелы в России?

На Западе набирает обороты движение инцелов

Psychologies
Партнер-психопат: как определить и почему не стоит строить отношения? Партнер-психопат: как определить и почему не стоит строить отношения?

Девушка вспоминает приемы, с помощью которых ею манипулировал бывший супруг

Psychologies
Открыть в приложении