Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Толпой и еще толпее Толпой и еще толпее

Почему люди, собравшиеся большими группами, начинают вести себя странно?

Maxim
Умные бирки: теперь подключить к сети можно все Умные бирки: теперь подключить к сети можно все

Умные бирки: теперь подключить к сети можно все

Forbes
Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты Почему здорово быть «кошатником»: только научные факты

Кошки своенравны и самолюбивы, но их владельцы получают неоценимую пользу

Psychologies
Пенсии обсуждать поздно. Почему обществу пора требовать от власти базовый доход Пенсии обсуждать поздно. Почему обществу пора требовать от власти базовый доход

Контракт «мы не лезем в политику — вы гарантируете достаток» оказался невыгодным

СНОБ
Био-механизм Био-механизм

Пауки, пожалуй, самые высокотехнологичные существа на планете

Вокруг света
На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды На этот раз по-настоящему: открыто новое свойство воды

Физики обнаружили ранее неизвестное свойство воды, связанное с транспортом ионов

Forbes
Как выглядят спальни героев мультсериалов в реальной жизни: 6 фантазий дизайнеров Как выглядят спальни героев мультсериалов в реальной жизни: 6 фантазий дизайнеров

Создатели анимационных телешоу помогают нам сбежать из скучной реальности

Playboy
Они позорят прекрасный пол! Они позорят прекрасный пол!

6 типов женщин, от которых стоит держаться подальше

Maxim
Папа Микки-Мауса: 7 мифов об Уолте Диснее Папа Микки-Мауса: 7 мифов об Уолте Диснее

Создатель «счастливейшего места на земле» и первый замороженный человек

Вокруг света
Остроумные кинетические гаджеты Никласа Роя Остроумные кинетические гаджеты Никласа Роя

Работы немца Никласа Роя

Популярная механика
В Москве пройдет рэп-фестиваль Rhymes Show В Москве пройдет рэп-фестиваль Rhymes Show

Вторая часть музыкального фестиваля Rhymes Show пройдет 18 августа в Москве

Cosmopolitan
Законная регистрация Законная регистрация

Приняты новые правила регистрации транспортных средств

АвтоМир
Смартфоны опасны, или как гаджеты разрушают социальные связи Смартфоны опасны, или как гаджеты разрушают социальные связи

Говорят, что увлечение мобильными устройствами закончится зависимостью

Популярная механика
Новое про чтение: как умение читать повлияло на физиологию людей Новое про чтение: как умение читать повлияло на физиологию людей

Что тебе дает навык чтения

Maxim
В Питер на выходные: Как мы пытались экономить в городе на Неве и что из этого вышло В Питер на выходные: Как мы пытались экономить в городе на Неве и что из этого вышло

Сколько стоит провести 3 дня в Санкт-Петербурге

Лиза
С тобой не соскучишься! С тобой не соскучишься!

Даже самый замечательный мужчина может оказаться консерватором в плане свиданий

Лиза
8 заповедей успешного мизантропа 8 заповедей успешного мизантропа

Как правильно ненавидеть людей с пользой для себя и для них

Maxim
Рассказываем, как повторить все прически Дэвида Бекхэма Рассказываем, как повторить все прически Дэвида Бекхэма

Выбор огромен – чего только не было на голове у бывшего футболиста

GQ
Дыши, чувак, дыши! 8 недопустимых ошибок во время поцелуя Дыши, чувак, дыши! 8 недопустимых ошибок во время поцелуя

Как не облажаться перед девушкой во время поцелуя

Playboy
Назад в СССР. Как новые санкции повлияют на российскую экономику Назад в СССР. Как новые санкции повлияют на российскую экономику

В случае даже частичного принятия санкции будут самыми серьезными со времен СССР

Forbes
Денежный удар. К чему приведет изъятие сверхдоходов бизнеса Денежный удар. К чему приведет изъятие сверхдоходов бизнеса

К чему приведет изъятие сверхдоходов бизнеса

Forbes
Соль фа. Что такое фашизм и почему он не нужен ни в каком виде Соль фа. Что такое фашизм и почему он не нужен ни в каком виде

Что представляет собой фашизм с философской и идеологической точки зрения

Maxim
Семейное дело Семейное дело

На Кипр стоит поехать и взрослым, и детям

Лиза
Читала мир как Роман Читала мир как Роман

Интервью с режиссером Ро­ма­ном Ка­ри­мо­вым

Glamour
Юлий Гусман: «Жить без работы скучно!» Юлий Гусман: «Жить без работы скучно!»

Юлий Гусман признался, какое событие совсем недавно произошло в его семье

StarHit
Валентина Рубцова: «Не смогу бегать голышом в кадре» Валентина Рубцова: «Не смогу бегать голышом в кадре»

Блиц-опрос со звездой сериала «СашаТаня»

StarHit
Самые запоминающиеся модные показы XXI века Самые запоминающиеся модные показы XXI века

От перформанса Эрин О’Коннор до космической ракеты Chanel

Vogue
Если очень захотеть, можно в космос полететь Если очень захотеть, можно в космос полететь

Профессия, которой не учат ни в одном учебном заведении

Популярная механика
Серебряный возраст. Как остаться востребованным сотрудником на пенсии Серебряный возраст. Как остаться востребованным сотрудником на пенсии

Какой план действий нужно разработать прежде, чем вас сочтут «профнепригодным»

Forbes
Осторожнее, британцы! Осторожнее, британцы!

У главного британского внедорожника появится преемник в 2019-м

Quattroruote
Открыть в приложении