Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь и читайте статьи из популярных журналов

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Дом.РФ» приступил к выполнению указа «Дом.РФ» приступил к выполнению указа

Жилищный институт развития снижает стоимость ипотеки

РБК, июль'19
Как не стоит носить головные уборы Как не стоит носить головные уборы

Учимся на ошибках героев стритстайла

GQ, июль'19
Приехали поговорить «За жизнь» Приехали поговорить «За жизнь»

Зачем Дмитрий Медведев встречался в Москве с украинской оппозицией

РБК, июль'19
20 лет группе «Тату»: почему мы до сих пор о них помним 20 лет группе «Тату»: почему мы до сих пор о них помним

Самой известной за пределами СНГ российской группе году исполняется 20 лет

РБК, июль'19
Как выжить и не сойти с ума в открытом море: 5 историй о людях, сумевших себя спасти Как выжить и не сойти с ума в открытом море: 5 историй о людях, сумевших себя спасти

О людях, которые не планировали биться со стихией в открытом море — но пришлось

Men’s Health, июль'19
Лояльность теряет рублевый эквивалент Лояльность теряет рублевый эквивалент

Почему розничные банки отказываются от прямого кешбэка

РБК, июль'19
Регионы позарились на заложенную недвижимость Регионы позарились на заложенную недвижимость

Правительство поддержало идею обложить банки новым налогом

РБК, июль'19
Женщины рассказали, чего они ждут от мужчин на свиданиях и в постели после Женщины рассказали, чего они ждут от мужчин на свиданиях и в постели после

Женщины рассказали о том, какие вещи будоражат их на свиданиях и в постели

Men’s Health, июль'19
Жизни подводников унес огонь Жизни подводников унес огонь

В результате ЧП на Северном флоте погибли 14 военных моряков

РБК, июль'19
Директор по стратегии World Class — о фитнесе и большом спорте Директор по стратегии World Class — о фитнесе и большом спорте

Как выбрать для себя правильное направление и добиться в нем высоких результатов

РБК, июль'19
Россиянам все по борту Россиянам все по борту

Какие самолеты предпочитают представители отечественного среднего класса

РБК, июль'19
Британская журналистка — о смешном Гоголе и серьезном Тарковском Британская журналистка — о смешном Гоголе и серьезном Тарковском

В издательстве Individuum вышла книга «Саморазвитие по Толстому»

РБК, июль'19
Жизненно важный выбор Жизненно важный выбор

Как Росстат объясняет демографические пики

РБК, июль'19
Как увеличить член Как увеличить член

Как увеличить член без уколов, операций, регистрации и СМС

GQ, июль'19
Иммунодефицит добрался до экономически активных Иммунодефицит добрался до экономически активных

В 13 российских регионах заболеваемость ВИЧ превысила 1%

РБК, июль'19
Не было печати! Не было печати!

Некоторые женятся, а некоторые — довольны и так

Добрые советы, июль'19
День Д День Д

Актриса Элизабет Дебики — о будущем Голливуда

Vogue, июль'19
Водородная кругосветка Водородная кругосветка

Кругосветное путешествие катамарана Energy Observer

Популярная механика, июль'19
Яхты Яхты

Смелая архитектура, технические находки и новая эстетика

Robb Report, июль'19
Глаз должен отдыхать Глаз должен отдыхать

Дизайнер Майкл Корс свил с мужем семейное гнездо в пентхаусе в Гринвич-Виллидже

Tatler, июль'19
Двухколесная анархия Двухколесная анархия

Велосипедисты захватывают города

Огонёк, июль'19
Дарья Донцова: «Не люблю, когда муж молчит» Дарья Донцова: «Не люблю, когда муж молчит»

Писательница призналась, как приходят идеи для сцен самых ужасных убийств

StarHit, июль'19
Котлета этого лета Котлета этого лета

Искусственное мясо — звучит как фантастика, но уже сегодня оно на нашем столе

Vogue, июль'19
Привычка жениться Привычка жениться

В нашей стране один из самых высоких в Европе показателей по количеству браков

Огонёк, июль'19
Это вам на будущее Это вам на будущее

Своими мыслями с Grazia делится Александр Цыпкин

Grazia, июль'19
Мобильная экономия Мобильная экономия

7 полезных мобильных приложений для снижения расходов

Лиза, июль'19
Вам-то хорошо! Вам-то хорошо!

Зависть помогает объяснить любые неудачи и... прийти к оглушительному успеху

Добрые советы, июль'19
7 умных помощников, с которыми дачная жизнь станет приятнее 7 умных помощников, с которыми дачная жизнь станет приятнее

Девайсы, которые облегчают работу на дачном участке

Лиза, июль'19
Каталонская мозаика Каталонская мозаика

Приехав сюда страшно усталым, уже наутро чувствуешь себя полным сил

Добрые советы, июль'19
Ю Несбё Ю Несбё

Репортаж журналиста Энди Мартина о норвежском мастере триллеров

Elle, июль'19