Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

ИИ ИИ

Искусственный интеллект понемногу осваивает хаос реального мира

Популярная механика
5 ритуалов совершеннолетия в Древнем мире 5 ритуалов совершеннолетия в Древнем мире

Совершеннолетие в Древнем Риме, Спарте, Китае, у ацтеков и викингов

Maxim
Три дня Бородина Три дня Бородина

История Бородинской битвы

Вокруг света
Обойдемся без истерик: как Агата Кристи наказала первого мужа за измену Обойдемся без истерик: как Агата Кристи наказала первого мужа за измену

Узнав об измене мужа, Агата отомстила ему так, что он надолго запомнил урок

Cosmopolitan
Синдром чемодана без ручки: 4 дурацкие причины сохранять отношения Синдром чемодана без ручки: 4 дурацкие причины сохранять отношения

А тебе знакомы какие-то из этих оправданий для отношений?

Cosmopolitan
Зерна смысла Зерна смысла

«Не попробовал плова — не родился на свет»

Вокруг света
Быть в балансе: простые правила питания для снижения сердечно-сосудистого риска Быть в балансе: простые правила питания для снижения сердечно-сосудистого риска

Здоровые пищевые привычки, которые снизят вес и нормализуют давление

Inc.
6 вопросов, которые часто звучат в счастливых парах 6 вопросов, которые часто звучат в счастливых парах

Как парам удается поддерживать пламя страсти долгие годы

Psychologies
Магия больших денег Магия больших денег

Как Александр Коноплястый и Михаил Салонтаи основали компанию Flashpoint

Robb Report
Враги душевного равновесия: 4 типа продуктов, способных вызвать тревогу Враги душевного равновесия: 4 типа продуктов, способных вызвать тревогу

Скажи им «спасибо» за чувство беспокойства

Playboy
5 книг о том, как «обезвредить» психопата и помочь близким с пограничным расстройством личности 5 книг о том, как «обезвредить» психопата и помочь близким с пограничным расстройством личности

5 книг, в которых вы найдете приемы и техники психологической самопомощи

Популярная механика
Теория запаха Теория запаха

Зачем в парфюмерных лабораториях изучают влияние ароматов на мозг

Glamour
Знаки отличия Знаки отличия

Экологичная косметика: читаем этикетки

Cosmopolitan
Холодные молекулы в трехмерном газе защитили с помощью электрического поля Холодные молекулы в трехмерном газе защитили с помощью электрического поля

Изучение квантовых газов открывает дорогу к наблюдению необычных эффектов

N+1
9 признаков здоровых сексуальных отношений 9 признаков здоровых сексуальных отношений

Как отличить здоровые сексуальные отношения?

Psychologies
Отказать мужу в сексе: почему это нормально Отказать мужу в сексе: почему это нормально

Какие проблемы стоят за нежеланием секса в браке?

Psychologies
Разрыв шаблона Разрыв шаблона

Крокодилы оказались птицами, а киты — родственниками лошадей

Вокруг света
Восстановить близость Восстановить близость

Как делить постель после измены партнера?

Psychologies
11 правил сильной и независимой женщины 11 правил сильной и независимой женщины

11 принципов эмоциональной независимости

Cosmopolitan
10 неочевидных фильмов про настоящих отморозков 10 неочевидных фильмов про настоящих отморозков

Большинство из этих фильмов вы наверняка не смотрели, но мы горячо рекомендуем

GQ
Фонд физтехов: как Петр Лукьянов управляет деньгами бизнесменов — выпускников МФТИ Фонд физтехов: как Петр Лукьянов управляет деньгами бизнесменов — выпускников МФТИ

Как Петр Лукьянов вкладывается в стартапы до того, как они становятся модными

Forbes
Нам с тобой не по пути… Нам с тобой не по пути…

Как экологично выйти из отношений, пока они еще не затянули тебя по-настоящему?

Лиза
Войти в колею Войти в колею

Что такое послеотпускной синдром и как его преодолеть

Лиза
В яблочко В яблочко

В окрестностях Торжка пастилу варили издавна

Seasons of life
Польские археологи раскопали в славянском поселении редкую серебряную фигурку Польские археологи раскопали в славянском поселении редкую серебряную фигурку

Польские археологи провели раскопки раннесредневекового славянского поселения

N+1
Кетоновая диета для женщин — меню на неделю Кетоновая диета для женщин — меню на неделю

Примерное меню кетоновой диеты на всю неделю для женщин

VOICE
Ключи от радуги Ключи от радуги

Ки-Уэст, где кошки живут в любви, сытости и удовольствии

Вокруг света
Свой на чужом рынке Свой на чужом рынке

Как подойти к запуску продукта на экспорт

Агроинвестор
Атмосферное электричество — часть среды нашего обитания Атмосферное электричество — часть среды нашего обитания

Электричество атмосферного пограничного слоя — давний предмет познания

Наука и жизнь
Планетологи нашли очень молодую вулканическую область на Венере Планетологи нашли очень молодую вулканическую область на Венере

Потоки лавы могли течь по Венере всего несколько тысяч лет назад

N+1
Открыть в приложении