Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

7 случаев применения остроумного психологического оружия в древности 7 случаев применения остроумного психологического оружия в древности

Военные хитрости древних военачальников

Maxim
Успеть за пятнадцать минут Успеть за пятнадцать минут

Город — источник стресса. Можно ли это изменить?

AD
LeLu Kids: школьная учительница из Марий Эл придумала бренд детской одежды и заработала на нем миллионы LeLu Kids: школьная учительница из Марий Эл придумала бренд детской одежды и заработала на нем миллионы

Название собственного бренда Елена Лежнева придумала еще в школе

Inc.
Мужчина влюбился в незнакомку из своего сна и нашел ее в реальности Мужчина влюбился в незнакомку из своего сна и нашел ее в реальности

Любовь с первого взгляда — вовсе не удача и счастливое стечение обстоятельств

Psychologies
Ненадежные автомобили на вторичке. Антирейтинг экспертов Ненадежные автомобили на вторичке. Антирейтинг экспертов

Какие из актуальных моделей могут доставить проблемы, если купить их с пробегом

РБК
Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения

Особенности марсианского рельефа могут существенно понизить угрозу облучения

Популярная механика
Советский абьюз Советский абьюз

«Общага» Романа Васьянова, драма о смене эпох

Weekend
Фундамент водного мира Фундамент водного мира

Обустройство пола в санузле

Идеи Вашего Дома
Не в коня корм Не в коня корм

Истории людей, которые едят сколько угодно без набора веса, но страдают от этого

Лиза
Нейросеть помогла обмануть систему распознавания лиц незаметным макияжем Нейросеть помогла обмануть систему распознавания лиц незаметным макияжем

Новый метод обмана систем распознавания лиц

N+1
Психологи рассказали, как стать счастливее Психологи рассказали, как стать счастливее

Что такое хорошая жизнь и зачем нужно смотреть на себя со стороны

Inc.
Главная пряность осени: что нужно знать о корице Главная пряность осени: что нужно знать о корице

Помимо приятного аромата, в корице много питательных элементов

РБК
«Обмануть крупнейший инвестбанк — это слишком»: компания Ozy дурит инвесторов, прикрываясь дружбой с YouTube и Amazon «Обмануть крупнейший инвестбанк — это слишком»: компания Ozy дурит инвесторов, прикрываясь дружбой с YouTube и Amazon

Как Ozy обманула Goldman Sachs, но продолжила привлекать инвесторов

VC.RU
Жутко красиво: какими были бьюти-инструменты в эпоху наших бабушек и прабабушек Жутко красиво: какими были бьюти-инструменты в эпоху наших бабушек и прабабушек

На что шли наши предшественницы ради красоты в совсем недавнем прошлом?

Cosmopolitan
Разработчики камер показали, как водители прячут номера. Примеры и фото Разработчики камер показали, как водители прячут номера. Примеры и фото

Водители пробуют разные способы, чтобы обмануть камеры и избежать штрафов

РБК
Отдать нельзя пользоваться: как вернуть вещи в магазин, рассказывает юрист Отдать нельзя пользоваться: как вернуть вещи в магазин, рассказывает юрист

Как вернуть купленную вещь обратно в магазин?

Cosmopolitan
Я слышу голоса: общительный массив для дружелюбного робота Я слышу голоса: общительный массив для дружелюбного робота

Что кроется за понятием общения для робота, рассказали инженеры

Популярная механика
Вкусные «антидепрессанты»: 10 продуктов, которые содержат триптофан Вкусные «антидепрессанты»: 10 продуктов, которые содержат триптофан

Возможно, в вашем рационе не хватает одной аминокислоты – триптофана

Psychologies
Сцены из супружеской жизни Сцены из супружеской жизни

Как быть, если ребенок присутствует при ссоре?

Лиза
Палочка-выручалочка калибра 88 мм. История самой грозной немецкой пушки Палочка-выручалочка калибра 88 мм. История самой грозной немецкой пушки

Эта пушка лопала танки как воздушные шарики

Maxim
«Ребенок способный, но невнимательный»: как исправить ситуацию «Ребенок способный, но невнимательный»: как исправить ситуацию

В чем причины невнимательности ребенка и как ему помочь?

Psychologies
Сигналы регулировщика: фото, значение и как разобраться Сигналы регулировщика: фото, значение и как разобраться

Указания регулировщика часто сбивают с толку даже опытных водителей

РБК
Барышня или крестьянка? Популярные советские актрисы с дворянскими корнями Барышня или крестьянка? Популярные советские актрисы с дворянскими корнями

Эти советские актрисы тщательно скрывали свое происхождение

Cosmopolitan
Экс-мэр Якутска: «Хороший руководитель должен чувствовать и слышать людей» Экс-мэр Якутска: «Хороший руководитель должен чувствовать и слышать людей»

Бывший мэр Якутска — о политике, школьниках, путешествиях и детективах Ю Несбе

Cosmopolitan
Кит Харингтон: «Я ужасно боялся рождения сына» Кит Харингтон: «Я ужасно боялся рождения сына»

Кит Харингтон: жизнь — «штука с закавыкой»

Psychologies
Без побочных эффектов Без побочных эффектов

Почему антибиотики перестают помогать, и как снизить вред при их приеме

Лиза
Вышел клип Хаски Вышел клип Хаски

Как снимали клип Хаски "Реванш"

Esquire
15 горьких истин, которые так сложно признать 15 горьких истин, которые так сложно признать

Честные и горькие истины, которые необходимо проговорить

Psychologies
Не верь, не делай: народные советы и рецепты из Сети, которые не работают Не верь, не делай: народные советы и рецепты из Сети, которые не работают

Правда о популярных "народных" рецептах в области косметологии

Cosmopolitan
Зерна смысла Зерна смысла

«Не попробовал плова — не родился на свет»

Вокруг света
Открыть в приложении