Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Неизбежно Неизбежно

12 технологических трендов, которые определяют наше будущее

kiozk originals
Интернет, нейросети и искусственная еда: что предсказали Стругацкие Интернет, нейросети и искусственная еда: что предсказали Стругацкие

Что предсказали фантасты братья Стругацкие

Культура.РФ
Как возникло выражение «деловая колбаса»? Как возникло выражение «деловая колбаса»?

Откуда пошло выражение «деловая колбаса»?

Культура.РФ
Возвращение домой: зачем компании берут на работу бездомных людей Возвращение домой: зачем компании берут на работу бездомных людей

С какими трудностями может столкнуться работодатель, нанимая бездомных людей

Forbes
Два эффективных упражнения для формирования овала лица Два эффективных упражнения для формирования овала лица

Подтянутый овал лица делает нас визуально моложе

Psychologies
Волшебный фонарь Волшебный фонарь

Варвара Мельникова — о жизни большого экрана в мире пандемии и урбанистике

Vogue
Андрей Арьев Андрей Арьев

Андрей Арьев — писатель, главный редактор литературного журнала «Звезда»

Собака.ru
В организме больных Эболой нашли вирус пятилетней давности В организме больных Эболой нашли вирус пятилетней давности

Эболавирусы способны храниться в теле человека годами и вызывать новые вспышки

N+1
В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином В окаменелом хряще динозавра возрастом 125 миллионов лет обнаружили клеточное ядро с хроматином

Вторая находка хроматина в ископаемых остатках позвоночных

N+1
«Как я спасся с 81 этажа Центра международной торговли». Прямая речь американца, выжившего в теракте 11 сентября «Как я спасся с 81 этажа Центра международной торговли». Прямая речь американца, выжившего в теракте 11 сентября

Утром 11 сентября Майкл был клиентщиком, через 2 часа его жизнь перевернулась

Esquire
Выпить за науку Выпить за науку

Ученые вывели важные правила получения идеальных напитков

Вокруг света
Печальней нет ночного едока… Печальней нет ночного едока…

Как прекратить ночные набеги на холодильник?

Худеем правильно
Корона не жмет: 17 безумно дорогих тиар британской королевской семьи Корона не жмет: 17 безумно дорогих тиар британской королевской семьи

Эти тиары бесценны — потому, что они "пережили" правления множества монархов

VOICE
5 особенностей уверенных в себе людей 5 особенностей уверенных в себе людей

Люди с высокой самооценкой сильно отличаются от тех, кто в себе не уверен

Psychologies
Откажите себе в удовольствие Откажите себе в удовольствие

Правила вежливого отказа

GQ
Трагичная судьба дочери Куприна, бросившей родителей: от славы к одиночеству Трагичная судьба дочери Куприна, бросившей родителей: от славы к одиночеству

Киса Куприна — как она смогла затмить известность её отца-писателя?

Cosmopolitan
20 самых смешных мультсериалов для взрослых 20 самых смешных мультсериалов для взрослых

Открой для себя безумный мир анимации, если обычные ситкомы уже приелись

Maxim
Илон Маск дал один простой совет по управлению сотрудникам Tesla. Тем, кто ему не последует, грозит увольнение Илон Маск дал один простой совет по управлению сотрудникам Tesla. Тем, кто ему не последует, грозит увольнение

Коммуникация — это ключ к быстрому решению проблем в большой компании

Inc.
Старые, но интересные: 6 онлайн-игр, которые потянут слабые ПК Старые, но интересные: 6 онлайн-игр, которые потянут слабые ПК

Онлайн-игры, не требующие сильного железа

CHIP
Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии

Что вызывает страх полетов и как победить боязнь перед путешествием по небу

Playboy
8 автомобильных брендов, которым срочно требуется новый дизайнер 8 автомобильных брендов, которым срочно требуется новый дизайнер

Художник, сделайте этим автомобилям красиво! Некрасивые бренды

Maxim
В поисках магии. Отрывок из книжного сериала «Охотники за книгами» В поисках магии. Отрывок из книжного сериала «Охотники за книгами»

Отрывок из «Охотники за книгами» — в мире, полном опасностей, смотрите в оба

СНОБ
Apple защищает конфиденциальность клиентов, но не сотрудников: она просматривает их звонки, фото и даже сумки Apple защищает конфиденциальность клиентов, но не сотрудников: она просматривает их звонки, фото и даже сумки

Политика Apple: как компания борется с утечками, используя двойные стандарты

VC.RU
Как добиться того, о чем вы мечтаете: 4 совета Как добиться того, о чем вы мечтаете: 4 совета

Почему мы не идем к своим целям и что с этим делать?

Psychologies
Зачем ЦБ хочет блокировать платежи в адрес криптобирж Зачем ЦБ хочет блокировать платежи в адрес криптобирж

Получится ли у регулятора остановить операции с криптобиржами?

Forbes
Как стресс и волнения сказываются на состоянии кожи Как стресс и волнения сказываются на состоянии кожи

Раздражения, шелушения, краснота — почему количество жалоб на кожу возросло

Psychologies
Елена Борщева. Авантюристка Елена Борщева. Авантюристка

Елена Борщева: дерево, дом, ребенок, у меня все зашибись!

Коллекция. Караван историй
Дмитрий Крестьянкин Дмитрий Крестьянкин

Дмитрий Крестьянкин — амбассадор инклюзивных проектов и документального театра

Собака.ru
Куда же вы? 10 известных детей, которые выросли слишком быстро Куда же вы? 10 известных детей, которые выросли слишком быстро

Если чужие дети растут быстро, то знаменитые дети - в три раза быстрее

Cosmopolitan
Родила пятерых – и такая фигура! Самые откровенные образы Натальи Водяновой Родила пятерых – и такая фигура! Самые откровенные образы Натальи Водяновой

Наталья Водянова мало изменилась с юности и позволяет себе провокационные образы

VOICE
Открыть в приложении