Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Как выглядит самое ядовитое в мире дерево, под которым даже запрещено стоять в дождь Как выглядит самое ядовитое в мире дерево, под которым даже запрещено стоять в дождь

Безопаснее всего смотреть на это дерево на картинках

Популярная механика
Как одеваются британские модницы: лучшие образы гостей Недели моды в Лондоне Как одеваются британские модницы: лучшие образы гостей Недели моды в Лондоне

Как одеваются самые модные девушки Великобритании?

Cosmopolitan
Самцов кальмаров заподозрили в заботе о потомстве Самцов кальмаров заподозрили в заботе о потомстве

Самцы кальмаров заинтересовались условиями, в которых будет расти их потомство

N+1
Опыт прочтения. Григорий Кружков: «Орбиты слов: русская поэзия и европейская традиция» Опыт прочтения. Григорий Кружков: «Орбиты слов: русская поэзия и европейская традиция»

Отрывок из сборника статей Григория Кружкова, посвященных поэтам «Озерной школы»

СНОБ
Полярные ворота Полярные ворота

Как остановить отъезд людей из богатой Мурманской области

Forbes
Космос для людей: зачем миллиардер Джаред Айзекман оплатил полет туристов SpaceX Космос для людей: зачем миллиардер Джаред Айзекман оплатил полет туристов SpaceX

Кто такой Айзекман, как он пережил выгорание и отправился искать себя в космос

Forbes
Возвращение домой: зачем компании берут на работу бездомных людей Возвращение домой: зачем компании берут на работу бездомных людей

С какими трудностями может столкнуться работодатель, нанимая бездомных людей

Forbes
Самцы живущих в суровом климате австралийских грызунов отрастили крупные семенники Самцы живущих в суровом климате австралийских грызунов отрастили крупные семенники

Как грызуны выигрывают конкуренцию во время короткого брачного сезона?

N+1
Актер. Иван Янковский Актер. Иван Янковский

Как внук Олега Янковского на глазах превращается в актера Ивана Янковского

GQ
Что посмотреть и попробовать в Арктике. Гид «РБК Стиль» Что посмотреть и попробовать в Арктике. Гид «РБК Стиль»

Рассказываем, как провести уик-энд в Арктике

РБК
Нефутбол и прочие игры: фильмы о том, что спорт — женское дело Нефутбол и прочие игры: фильмы о том, что спорт — женское дело

Фильмы, в которых женщины прекрасно играют в футбол, бегают и мечут диски

Cosmopolitan
Стинг, Эминем и Тимберлейк: музыканты, попробовавшие себя в кино Стинг, Эминем и Тимберлейк: музыканты, попробовавшие себя в кино

Известных музыканты, которые попробовали себя в кино

Cosmopolitan
«Когда мы говорим, что человек «Когда мы говорим, что человек

Психолог Татьяна Павлова — о том, как идея токсичности отравляет наши отношения

Reminder
Свежая листва Свежая листва

Реставратор Майкл Даффи шаг за шагом восстановил знаменитое полотно Ван Гога

Robb Report
Красный принадлежит Coca-Cola, а голубой — Tiffany: как устроено единоличное «владение» цветом Красный принадлежит Coca-Cola, а голубой — Tiffany: как устроено единоличное «владение» цветом

Как компании регистрировали цвета как торговую марку

VC.RU
Секс из машины Секс из машины

«Титан», невероятный победитель Каннского фестиваля

Weekend
Что такое кодирование от алкоголизма: способы, риски и мифы Что такое кодирование от алкоголизма: способы, риски и мифы

Самые популярные способы лечения алкоголизма

Популярная механика
Усмирить душевную бурю Усмирить душевную бурю

Что делать с мыслями и переживаниями об измене партнера?

Psychologies
Интроверты, выходи по одному! Интроверты, выходи по одному!

Образ жизни интровертов изрядно оброс мифами и домыслами

Maxim
Личный опыт: как быть, если нужно сменить название продукта Личный опыт: как быть, если нужно сменить название продукта

Как провести ребрендинг с наименьшими потерями

Inc.
«Мне легче делать, а не говорить». Интервью с режиссером Кирой Коваленко «Мне легче делать, а не говорить». Интервью с режиссером Кирой Коваленко

Кира Коваленко — о ее происхождении и отношениях с Кавказом

Esquire
С чемоданом по жизни: 7 увлекательных книг о путешествиях и путешественниках С чемоданом по жизни: 7 увлекательных книг о путешествиях и путешественниках

Книги про подлинные путешествия

Популярная механика
Своя история Своя история

Респектабельный интерьер в эклектичном стиле

SALON-Interior
Как понять, что у вас токсичные друзья Как понять, что у вас токсичные друзья

Несколько признаков людей, общения с которыми стоит избегать

Psychologies
Филология протеста Филология протеста

Татьяна Алешичева о «Кафедре», университетской комедии о новой этике

Weekend
Как вести записи, чтобы все понять и запомнить? 4 простых способа Как вести записи, чтобы все понять и запомнить? 4 простых способа

Эффективное конспектирование лекций — с точки зрения работы мозга

Reminder
Падение дома Браганса Падение дома Браганса

Почему был изгнан император Бразилии Педру II

Вокруг света
Дружбе конец: почему так происходит и как сохранить отношения Дружбе конец: почему так происходит и как сохранить отношения

Что разрушает дружбу и что можно делать, чтобы ее сохранить

Psychologies
MAXIM посмотрел новый фильм «Дюна» и забыл, что книга лучше MAXIM посмотрел новый фильм «Дюна» и забыл, что книга лучше

Можно прекратить грызть кактус и закопать видеокассету с «Дюной» Дэвида Линча

Maxim
Как научить ребенка ценить вещи Как научить ребенка ценить вещи

Что делать, если твой ребенок не знает цену вещам

Maxim
Открыть в приложении