Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Анти-Instagram для аудитории TikTok: почему взлетела новая соцсеть без фильтров Poparazzi Анти-Instagram для аудитории TikTok: почему взлетела новая соцсеть без фильтров Poparazzi

Почему Poparazzi быстро «выстрелила» и надолго ли сохранится интерес к себе?

Forbes
История стиля: 7 фильмов о великих кутюрье, которые изменили мир моды История стиля: 7 фильмов о великих кутюрье, которые изменили мир моды

От Шанель до Лагерфельда — истории восхождения звезд мира моды

Cosmopolitan
Флюороз: инструкция по спасению «пятнистых» зубов Флюороз: инструкция по спасению «пятнистых» зубов

Что собой представляет флюороз и как предупредить это некрасивое заболевание?

Cosmopolitan
Полезная рутина Полезная рутина

Как привычки формируются и почему становятся зависимостями

N+1
От «вековухи» до «большухи»: как жили старые девы на Руси От «вековухи» до «большухи»: как жили старые девы на Руси

Седая макушка, девуниха, домовуха — как только не называли старых дев на Руси!

Cosmopolitan
Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР

Как Россия могла бы все же получить пользу от контактов с ОЭСР

Forbes
Редкие сорта хлеба: «буханки» УАЗа, которые мало кто видел Редкие сорта хлеба: «буханки» УАЗа, которые мало кто видел

УАЗ — это звучит гордо, даже если это «буханка»

Maxim
10 неожиданных способов согреться 10 неожиданных способов согреться

Как почувствовать себя теплее до того, как ты сдашься и начнешь варить глинтвейн

Maxim
«Вам предстоит колоссальная работа»: отрывок из книги «Страх и надежды» Эрика Ларсона «Вам предстоит колоссальная работа»: отрывок из книги «Страх и надежды» Эрика Ларсона

В 1940 году Адольф Гитлер вторгся в Голландию и Бельгию

Вокруг света
Выращивает салат в автоматах и хочет спасти мир: как немецкая Infarm привлекла $315 млн на «рукколу для богатых» Выращивает салат в автоматах и хочет спасти мир: как немецкая Infarm привлекла $315 млн на «рукколу для богатых»

Как работают вертикальные фермы?

VC.RU
Почему для кино в России времена райские, но смотрят его плохо Почему для кино в России времена райские, но смотрят его плохо

В каком направлении развивается отечественный кинематограф

РБК
Синдром опустевшего гнезда Синдром опустевшего гнезда

Как сблизиться с мужем и вернуть отношениям смысл, когда дети выросли

Лиза
Мне нужны твои камбэки? Мне нужны твои камбэки?

Разбираемся, почему на экранах так много сиквелов и ремейков и как с этим жить

Glamour
Физик нашел новые магические числа для зарядов на сфере Физик нашел новые магические числа для зарядов на сфере

Физик рассмотрел задачу о расположении точечных зарядов на поверхности сферы

N+1
«Он никогда не строил из себя героя». Экскурсия Льва Лурье по адресам Довлатова в Петербурге «Он никогда не строил из себя героя». Экскурсия Льва Лурье по адресам Довлатова в Петербурге

Лев Лурье провел экскурсию по адресам Довлатова в Ленинграде

СНОБ
Кто они ― лица современного танца России? Интервью с главными героями фестиваля Context. Diana Vishneva Кто они ― лица современного танца России? Интервью с главными героями фестиваля Context. Diana Vishneva

На смену ежегодному конкурсу приходит Вечер современной хореографии

СНОБ
7 самых обязательных фильмов с Биллом Мюрреем, не считая «Дня Сурка» 7 самых обязательных фильмов с Биллом Мюрреем, не считая «Дня Сурка»

Мало кем смотренные фильмы с Биллом Мюрреем

Maxim
Художник по металлу: как Поль Арзен научил мир видеть прекрасное Художник по металлу: как Поль Арзен научил мир видеть прекрасное

Большинству знатоков автомобилей фамилия Арзен практически ни о чем не говорит

Вокруг света
Отцовская забота – кальмары спариваются с самками и уплывают, но до этого находят “квартиру” для будущих детей Отцовская забота – кальмары спариваются с самками и уплывают, но до этого находят “квартиру” для будущих детей

Самцы кальмаров могут проявлять заботу по отношению к своему потомству

Популярная механика
15 психологических трюков, которые упрощают жизнь 15 психологических трюков, которые упрощают жизнь

Эти нехитрые приемы помогут легче взаимодействовать с другими людьми

Psychologies
LeLu Kids: школьная учительница из Марий Эл придумала бренд детской одежды и заработала на нем миллионы LeLu Kids: школьная учительница из Марий Эл придумала бренд детской одежды и заработала на нем миллионы

Название собственного бренда Елена Лежнева придумала еще в школе

Inc.
Страна детства Страна детства

Детская комната – особый мир, где изменяются пространство и время

Лиза
Как заработать на винном баре в провинции Как заработать на винном баре в провинции

Винные бары появились в России совсем недавно

Inc.
«Обмануть крупнейший инвестбанк — это слишком»: компания Ozy дурит инвесторов, прикрываясь дружбой с YouTube и Amazon «Обмануть крупнейший инвестбанк — это слишком»: компания Ozy дурит инвесторов, прикрываясь дружбой с YouTube и Amazon

Как Ozy обманула Goldman Sachs, но продолжила привлекать инвесторов

VC.RU
Тимоти Шаламе и Дени Вильнев о «Дюне», страхах и первом знакомстве Тимоти Шаламе и Дени Вильнев о «Дюне», страхах и первом знакомстве

Тимоти Шаламе и Дени Вильнев встретились с Cosmo

Cosmopolitan
Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии

Что вызывает страх полетов и как победить боязнь перед путешествием по небу

Playboy
Любовный треугольник: трагичная судьба двух жен генсека Андропова Любовный треугольник: трагичная судьба двух жен генсека Андропова

История двух жен Юрия Андропова

Cosmopolitan
Замена пластике! Почему всё больше женщин делают татуаж сосков Замена пластике! Почему всё больше женщин делают татуаж сосков

Думаешь татуаж — это только про лицо?

Cosmopolitan
С чемоданом по жизни: 7 увлекательных книг о путешествиях и путешественниках С чемоданом по жизни: 7 увлекательных книг о путешествиях и путешественниках

Книги про подлинные путешествия

Популярная механика
7 полезных свойств лаврового листа 7 полезных свойств лаврового листа

Лавровый лист: мы даже не догадываемся, какое сокровище у нас под рукой

Psychologies
Открыть в приложении