Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

6 безобидных мероприятий, которые могут убить самые крепкие отношения 6 безобидных мероприятий, которые могут убить самые крепкие отношения

Если вы пройдете все испытания вдвоем — будете вместе вечно

Maxim
«Я приму внебрачных детей бывшего мужа»: Анфиса Чехова рассказала о личной жизни «Я приму внебрачных детей бывшего мужа»: Анфиса Чехова рассказала о личной жизни

Анфиса Чехова рассказала об отношениях с мужчинами

Cosmopolitan
Актер. Иван Янковский Актер. Иван Янковский

Как внук Олега Янковского на глазах превращается в актера Ивана Янковского

GQ
Кровные узы Кровные узы

Роман Васьянов вернулся в Россию, чтобы дебютировать как режиссер

Vogue
«Кинотавр-2021»: сериалы фестиваля, которые вам точно стоит посмотреть «Кинотавр-2021»: сериалы фестиваля, которые вам точно стоит посмотреть

Истории о добродушных майорах, безжалостных убийцах и непутевых министрах

GQ
Сара Коннор, Круэлла, Чудо-женщина: эволюция 10 любимых женских образов в кино Сара Коннор, Круэлла, Чудо-женщина: эволюция 10 любимых женских образов в кино

10 культовых женских образов из фильмов, которые менялись со временем

Cosmopolitan
Система П.В.О. – Пелевин Виктор Олегович Система П.В.О. – Пелевин Виктор Олегович

Журналист Роман Супер позвонил писателю Виктору Пелевину, но ошибся номером

Esquire
В пазырыкском могильнике нашли погребение в каменном ящике и четыре черепа животных В пазырыкском могильнике нашли погребение в каменном ящике и четыре черепа животных

Алтайский археолог представил результаты раскопок кургана железного века

N+1
Онлайн vs офлайн: перестанем ли мы покупать в магазинах? Отвечает гендиректор Inventive Retail Group Тихон Смыков Онлайн vs офлайн: перестанем ли мы покупать в магазинах? Отвечает гендиректор Inventive Retail Group Тихон Смыков

Перестанем ли мы покупать в магазинах?

Esquire
Ближе к народу: зачем бизнесу глубинное интервью с клиентом и почему не хватит опроса Ближе к народу: зачем бизнесу глубинное интервью с клиентом и почему не хватит опроса

Почему бизнесу следует говорить с клиентами подолгу

Forbes
Как отец и сын придумали игровую консоль в виде куба и собрали предзаказы на $39 млн Как отец и сын придумали игровую консоль в виде куба и собрали предзаказы на $39 млн

WowCube — кубик Рубика нового поколения

Forbes
Опыт Kickstarter, Microsoft и других: четырёхдневная рабочая неделя повышает вовлечённость и продуктивность сотрудников Опыт Kickstarter, Microsoft и других: четырёхдневная рабочая неделя повышает вовлечённость и продуктивность сотрудников

Как снизить стресс тем, кто вынужден работать на пятидневке

VC.RU
Что посмотреть и попробовать в Хакасии. Гид «РБК Стиль» Что посмотреть и попробовать в Хакасии. Гид «РБК Стиль»

Что в Хакассии найдет «немассовый» турист

РБК
Непорочное зачатие: невеста, потерявшая жениха в день свадьбы, беременна Непорочное зачатие: невеста, потерявшая жениха в день свадьбы, беременна

Жених Кейт погиб в автокатастрофе в ночь перед свадьбой

Cosmopolitan
5 причин разрешить детям плакать 5 причин разрешить детям плакать

Почему детям, вне зависимости от пола, нужно давать плакать

Psychologies
Двое в комнате Двое в комнате

История шедевра Яна Вермеера

Robb Report
Логос и пафос Логос и пафос

«Если на товар можно нанести буквы, то пусть это будет наш логотип»

Robb Report
Путь семьи Тоёда Путь семьи Тоёда

Как Toyota дошла до вершины мирового автомобилестроения

Forbes
Котик или зая? Узнай значение своего прозвища и что оно говорит о вашей любви Котик или зая? Узнай значение своего прозвища и что оно говорит о вашей любви

Ласковые прозвища возникают не просто так

VOICE
5 фильмов о неизбежности судьбы 5 фильмов о неизбежности судьбы

Истории о том, что финал уже определен, как бы мы ни сопротивлялись

GQ
Филипп Янковский – о российском кино, суррогатном материнстве и сложных ролях Филипп Янковский – о российском кино, суррогатном материнстве и сложных ролях

Актер Филипп Янковский — о стриминговых сервисах и своих планах в режиссуре

GQ
Кит Харингтон: «Я ужасно боялся рождения сына» Кит Харингтон: «Я ужасно боялся рождения сына»

Кит Харингтон: жизнь — «штука с закавыкой»

Psychologies
Котики и йога: 8 способов пережить разрыв с точки зрения науки Котики и йога: 8 способов пережить разрыв с точки зрения науки

Советы от ученых, которые помогут склеить разбитое сердце

Cosmopolitan
Это не Чехов! Это не Чехов!

Почему современный театр изменяет классику, но никогда ее не бросает

Weekend

Спорим, мы знаем, что ценнее всего для тебя?

Cosmopolitan
Потерять килограммы, но не растерять друзей Потерять килограммы, но не растерять друзей

Начав худеть, многие удивляются, что ряды друзей изрядно поредели

Здоровье
Знаки зодиака, которым тяжелее всего построить отношения, - кто они? Знаки зодиака, которым тяжелее всего построить отношения, - кто они?

Какие знаки зодиака испытывают в сфере отношений серьезные затруднения

Cosmopolitan
Археологи обнаружили в Кремле редкую поливную чашу XV века Археологи обнаружили в Кремле редкую поливную чашу XV века

Археологи нашли в Большом Кремлевском сквере богатую коллекцию артефактов

N+1
Знаки отличия Знаки отличия

Экологичная косметика: читаем этикетки

Cosmopolitan
Палеогенетики выяснили происхождение этрусков Палеогенетики выяснили происхождение этрусков

Этруски оказались генетически близки италикам

N+1
Открыть в приложении