Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели 20 вещей, которые могут тебе пригодиться в постели

Объекты и явления, при помощи которых твой секс будет еще великолепнее

Maxim
Коботы вместо роботов: куда нас ведёт Четвёртая промышленная революция Коботы вместо роботов: куда нас ведёт Четвёртая промышленная революция

Автоматизация производства, роботизация — что они означают в реальности?

Inc.
Съёмки в рекламе, вложения в недвижимость, одежда и косметика: на чём Мадонна заработала $1,2 млрд, кроме музыки Съёмки в рекламе, вложения в недвижимость, одежда и косметика: на чём Мадонна заработала $1,2 млрд, кроме музыки

Мадонна пробует себя в бизнесе и коллекционирует автомобили

VC.RU
Почему мы живем в эпоху прерванного визуального акта Почему мы живем в эпоху прерванного визуального акта

С годами потребление контента приобрело совершенно новый характер

GQ
Что такое кодирование от алкоголизма: способы, риски и мифы Что такое кодирование от алкоголизма: способы, риски и мифы

Самые популярные способы лечения алкоголизма

Популярная механика
Стоп-менеджер Стоп-менеджер

Почему тебя до сих пор не повышают? Есть пять вероятных причин

Cosmopolitan
Массаж гуаша для лица: 3 правила омоложения кожи Массаж гуаша для лица: 3 правила омоложения кожи

Китайская техника массажа гуаша творит чудеса с кожей лица

Psychologies
Два эффективных упражнения для формирования овала лица Два эффективных упражнения для формирования овала лица

Подтянутый овал лица делает нас визуально моложе

Psychologies
Худеем по аюрведе Худеем по аюрведе

Уникальная система питания из Древней Индии

Лиза
Своя история Своя история

Респектабельный интерьер в эклектичном стиле

SALON-Interior
Археологи установили время существования греко-бактрийской крепости Узундара Археологи установили время существования греко-бактрийской крепости Узундара

Крепость Узундара была построена в начале III века до нашей эры

N+1
6 признаков, что вам пора закончить старую дружбу 6 признаков, что вам пора закончить старую дружбу

Иногда наступает момент, когда присутствие друга тяготит и выматывает

GQ
Как скрыть шрамы, родинки и раны: остроумные тату реальных людей Как скрыть шрамы, родинки и раны: остроумные тату реальных людей

Тату, которые не просто скрыли несовершенства, а превратили их в изюминку

Cosmopolitan
Буря в пустыне Буря в пустыне

Тимоти Шаламе и Дени Вильнёв — о страхе, жаре и проваленных пробах

Cosmopolitan
Как устроен мир: 5 книг для тех, кто хочет знать больше Как устроен мир: 5 книг для тех, кто хочет знать больше

Книги о квантовая механике, генетике, устройстве микромира…

Популярная механика
Редкие автомобильные эмблемы, которые ты часто видишь, но не можешь определить Редкие автомобильные эмблемы, которые ты часто видишь, но не можешь определить

Стань гуру карспоттинга!

Maxim
«В моем доме полгода тайно жил незнакомец» «В моем доме полгода тайно жил незнакомец»

Странные шаги в квартире по ночам, открытые двери и пропадающая еда

Psychologies
В погребении унетицкой культуры нашли младенца с бронзовым браслетом В погребении унетицкой культуры нашли младенца с бронзовым браслетом

Археологи изучили погребение младенца эпохи унетицкой культуры

N+1
Мадонна: да, нет, знаю Мадонна: да, нет, знаю

Мадонна: «Мне казалось, что я ничего не стою»

Glamour
Снимают фильмы, закрывают лица: как звезды пытаются помочь женщинам Афганистана Снимают фильмы, закрывают лица: как звезды пытаются помочь женщинам Афганистана

Как многие знаменитости пытаются помочь афганкам обрести свободу

Cosmopolitan
Дома, которые строит Ким Дома, которые строит Ким

Почему французские боссы так доверяют британскому дизайнеру Киму Джонсу

Robb Report
Что такое броулифт: пугающая техника, которой исправляют татуаж Что такое броулифт: пугающая техника, которой исправляют татуаж

Неудачный перманентный макияж бровей не такая уж редкая история

Cosmopolitan
Путь семьи Тоёда Путь семьи Тоёда

Как Toyota дошла до вершины мирового автомобилестроения

Forbes
От флоатинга до сапбординга От флоатинга до сапбординга

Самые эффективные способы борьбы со стрессом

Лиза
Профилактика дешевле лечения. Как сэкономить и остаться здоровым Профилактика дешевле лечения. Как сэкономить и остаться здоровым

Насколько экономически выгодно жить, не болея, но следя за здоровьем

СНОБ
«Как хорошо без женщины!» 5 главных муз Александра Вертинского «Как хорошо без женщины!» 5 главных муз Александра Вертинского

Главные жизни в жизни киноактера Александра Вертинского

Cosmopolitan
Ромовая баба: история и королевский рецепт Ромовая баба: история и королевский рецепт

История ромовой бабы

Вокруг света
Что, если все на Земле были бы веганами Что, если все на Земле были бы веганами

Если бы никто не ел мяса — на планете был бы мир и спокойствие?

Вокруг света
Женщина тратит почти полмиллиона рублей на наряды для голубей Женщина тратит почти полмиллиона рублей на наряды для голубей

Мегги Джонсон тратит в год полмиллиона рублей на содержание четырех голубей

Cosmopolitan
Нейрофизиологи выяснили механизм действия сонаты Моцарта на эпилептиков Нейрофизиологи выяснили механизм действия сонаты Моцарта на эпилептиков

Сонаты Моцарта изменяют активность лобной коры мозга

N+1
Открыть в приложении