Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Эволюция должна иметь направленность» «Эволюция должна иметь направленность»

Неожиданный подход к изучению ДНК

Огонёк
Перестань в это верить! 10 популярных мифов об уходе за кожей Перестань в это верить! 10 популярных мифов об уходе за кожей

Устаревшие факты и мифы об уходе за кожей

VOICE
Тайная свадьба, аборт и «голая» съемка: 5 удивительных фактов о Миле Йовович Тайная свадьба, аборт и «голая» съемка: 5 удивительных фактов о Миле Йовович

Жизнь американской актрисы Милы Йовович похожа на американские горки

VOICE
Радужные плёнки: наблюдения и опыты Радужные плёнки: наблюдения и опыты

Как радужная плёнка появляется на разных предметах?

Наука и жизнь
Основной инстинкт Основной инстинкт

Crossfit за пару десятков лет приобрел миллионы поклонников по всему миру

Playboy
«В моем доме полгода тайно жил незнакомец» «В моем доме полгода тайно жил незнакомец»

Странные шаги в квартире по ночам, открытые двери и пропадающая еда

Psychologies
Сидячие захоронения из Волго-Уралья датировали финалом средней бронзы Сидячие захоронения из Волго-Уралья датировали финалом средней бронзы

Погребения Волго-Уральского региона оставили представители лолинской культуры

N+1
Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой

Немецкие разработки ядерного оружия во время Второй мировой покрыты тайной

Популярная механика
Королева Диана Королева Диана

Отрывок из мемуаров легендарного редактора американского Vogue Дианы Вриланд

Vogue
«Муж и его любовница хотят свести меня с ума»: как я стала жертвой газлайтинга «Муж и его любовница хотят свести меня с ума»: как я стала жертвой газлайтинга

Из-за действий мужа и его любовницы она оказалась на грани суицида

Cosmopolitan
Autonomous Land Vehicle: первый в мире беспилотный автомобиль Autonomous Land Vehicle: первый в мире беспилотный автомобиль

История первого беспилотника от DARPA, просуществовавшего 4 года

Популярная механика
13 критериев для выбора партнера на всю жизнь 13 критериев для выбора партнера на всю жизнь

Критерии, на которые стоит опираться при выборе партнера

Psychologies
От Nike к Uniqlo: как теннисист Роджер Федерер заработал $1 млрд на сотрудничестве с брендами От Nike к Uniqlo: как теннисист Роджер Федерер заработал $1 млрд на сотрудничестве с брендами

Благодаря умению общаться со спонсорами Федерер продолжит зарабатывать миллионы

VC.RU
Насколько полезен шиповник: мнение эксперта Насколько полезен шиповник: мнение эксперта

Шиповник — это не только красивые цветы, но и полезные плоды

РБК
7 лучших кинотрилогий 7 лучших кинотрилогий

Франшизы, где вторая и третьи части также хороши, как и первая (а то и лучше)!

Maxim
Пророк нового человечества: что думали писатели о Льве Толстом Пророк нового человечества: что думали писатели о Льве Толстом

Высказывания современников Толстого — о писателе, его работе и значении для мира

Esquire
Первый телефон Первый телефон

В начале XIX века в жизнь человечества вошел электрический телеграф

Вокруг света
MAXIM посмотрел новый фильм «Дюна» и забыл, что книга лучше MAXIM посмотрел новый фильм «Дюна» и забыл, что книга лучше

Можно прекратить грызть кактус и закопать видеокассету с «Дюной» Дэвида Линча

Maxim
15 стрижек для волос средней длины: они просто гениальны 15 стрижек для волос средней длины: они просто гениальны

Если длина до плеч... то выбирай любую из этих стрижек!

Cosmopolitan
Не просто актриса: как голливудская звезда Хеди Ламарр изобрела технологию для Wi-Fi Не просто актриса: как голливудская звезда Хеди Ламарр изобрела технологию для Wi-Fi

Благодаря Хеди Ламарр появились Wi-Fi, Bluetooth и спутниковая связь

Forbes
Закон Гаусса помог ограничить число магнитных монополей на Земле Закон Гаусса помог ограничить число магнитных монополей на Земле

Физики попытались вычислить магнитный заряд всей Земли

N+1
Огнеупорная глина позволяет превратить грязную подземную воду в питьевую Огнеупорная глина позволяет превратить грязную подземную воду в питьевую

Ученые предложили новый метод очистки подземных вод от железа

Популярная механика
Витамины для кожи, волос и ногтей: как их правильно принимать Витамины для кожи, волос и ногтей: как их правильно принимать

Как витамины действуют на кожу, волосы и ногти

РБК
«Я не твоя собственность»: можно ли избавиться от созависимости «Я не твоя собственность»: можно ли избавиться от созависимости

Почему люди остаются в нездоровых отношениях?

Psychologies
Онлайн vs офлайн: перестанем ли мы покупать в магазинах? Отвечает гендиректор Inventive Retail Group Тихон Смыков Онлайн vs офлайн: перестанем ли мы покупать в магазинах? Отвечает гендиректор Inventive Retail Group Тихон Смыков

Перестанем ли мы покупать в магазинах?

Esquire
Палеогенетики выяснили происхождение этрусков Палеогенетики выяснили происхождение этрусков

Этруски оказались генетически близки италикам

N+1
Гадать нельзя исследовать: откуда в современной России появилась мода на мистицизм Гадать нельзя исследовать: откуда в современной России появилась мода на мистицизм

Как любовь к мистике пробирается в массы

Forbes
«Люди думают, что у тебя какая-то особенная жизнь»: интервью с «мамой Стифлера» «Люди думают, что у тебя какая-то особенная жизнь»: интервью с «мамой Стифлера»

Эксклюзивное интервью с Дженнифер Кулидж, знакомую вам по роли Мамы Стифлера

Cosmopolitan
Интенсивность глобального потепления связали с ослаблением циркуляции в Южном океане Интенсивность глобального потепления связали с ослаблением циркуляции в Южном океане

Вода вблизи Антарктиды стала менее эффективным поглотителем избыточного тепла

N+1
Эрик Картман Эрик Картман

Правила жизни Эрика Картмана

Esquire
Открыть в приложении