Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Карина-вирус! Карина-вирус!

В это тревожное время героиней обложки стала главная медсестра страны

Maxim
Тайна писем Серклвилля: аноним, который терроризировал маленький городок Тайна писем Серклвилля: аноним, который терроризировал маленький городок

Письма, чужое грязное белье и загадочная смерть

Популярная механика
Сделайте, как было: почему звезды избавляются от грудных имплантов Сделайте, как было: почему звезды избавляются от грудных имплантов

Удаление грудных имплантов — тенденция, набирающая обороты последние пару лет

РБК
Быть в балансе: простые правила питания для снижения сердечно-сосудистого риска Быть в балансе: простые правила питания для снижения сердечно-сосудистого риска

Здоровые пищевые привычки, которые снизят вес и нормализуют давление

Inc.
Оставь их в прошлом: любимые фильмы, которые не стоит пересматривать в 2021 году Оставь их в прошлом: любимые фильмы, которые не стоит пересматривать в 2021 году

В юности и трава зеленее, и кино интереснее

Cosmopolitan
«Хорошего сейчас в новой музыке значительно больше, чем плохого»: Борис Барабанов слушает песни молодых исполнителей «Хорошего сейчас в новой музыке значительно больше, чем плохого»: Борис Барабанов слушает песни молодых исполнителей

Музыкальный критик Борис Барабанов о новой русской музыке

Esquire
Психология похудения Психология похудения

Что на самом деле скрывается за нашим желанием сбросить пару кило

Лиза
«Я попросила 16-летнюю дочь платить за содержание нашего дома» «Я попросила 16-летнюю дочь платить за содержание нашего дома»

Женщина решила обсудить семейный бюджет со своей 16-летней дочерью

Psychologies
В Африке зафиксировали распространение устойчивого к лекарствам малярийного плазмодия В Африке зафиксировали распространение устойчивого к лекарствам малярийного плазмодия

Малярийный плазмодий встречается в Азии, но в Африке появился независимо

N+1
Куда же вы? 10 известных детей, которые выросли слишком быстро Куда же вы? 10 известных детей, которые выросли слишком быстро

Если чужие дети растут быстро, то знаменитые дети - в три раза быстрее

Cosmopolitan
Любовь мертва, да здравствует Tinder: как дейтинг портит нам жизнь Любовь мертва, да здравствует Tinder: как дейтинг портит нам жизнь

Вместо того чтобы помочь, приложения для знакомств убивают отношения

Cosmopolitan
4 веские причины, почему каждый бизнесмен должен освоить тайм-менеджмент 4 веские причины, почему каждый бизнесмен должен освоить тайм-менеджмент

Ты удивишься, насколько может помочь навык управления временем

Playboy
Гёттинген на берегах Невы: Бесподобный учитель Пауль Эренфест Гёттинген на берегах Невы: Бесподобный учитель Пауль Эренфест

Кто такой Пауль Эренфест и что он сделал для физики?

Наука и жизнь
Трудно дышать и нет сил жить: что нужно знать про анемию Трудно дышать и нет сил жить: что нужно знать про анемию

Почему возникает анемия, как она проявляется и чем грозит организму?

Cosmopolitan
Предсказал будущее интернета в 90-ых и пропал, когда его прогнозы стали сбываться: история Филипа Агре Предсказал будущее интернета в 90-ых и пропал, когда его прогнозы стали сбываться: история Филипа Агре

Филип Агре рассказал об опасности сбора данных ещё до запуска Google и Amazon

VC.RU
«Социальный лифт — не волшебство, а возможность». Интервью с Лидией Михеевой, секретарем Общественной палаты России «Социальный лифт — не волшебство, а возможность». Интервью с Лидией Михеевой, секретарем Общественной палаты России

Секретарь Общественной палаты РФ Лидия Михеева о социальных лифтах

СНОБ
7 лучших кинотрилогий 7 лучших кинотрилогий

Франшизы, где вторая и третьи части также хороши, как и первая (а то и лучше)!

Maxim
Карта акне: что расположение прыщей на лице говорит о твоем здоровье Карта акне: что расположение прыщей на лице говорит о твоем здоровье

Расположение прыщей на лице может многое сказать о причинах их появления

Cosmopolitan
Китайские археологи раскопали в Саньсиндуе шесть жертвенных ям Китайские археологи раскопали в Саньсиндуе шесть жертвенных ям

Китайские археологи нашли гигантскую ритуальную маску

N+1
«Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана «Шан-Чи и легенда десяти колец» — самый веселый фильм Marvel. Ему не хватает лишь Джеки Чана

«Шан-Чи и легенда десяти колец» — кинокомикс, основанный на азиатских мифах

Esquire
Аннато, снежные грибы, бакучиол: почему они должны быть в твоей косметике Аннато, снежные грибы, бакучиол: почему они должны быть в твоей косметике

Трендовые компоненты, которые подарят твоей коже и волосам силу и красоту

Cosmopolitan
Терраформирование Марса: можно ли вдохнуть жизнь в пески Красной планеты? Терраформирование Марса: можно ли вдохнуть жизнь в пески Красной планеты?

Насколько реально терраформирование Красной планеты

Популярная механика
«Люди врут, чтобы понравиться»: как сценарист Майкл Левитон перестал говорить правду «Люди врут, чтобы понравиться»: как сценарист Майкл Левитон перестал говорить правду

Сценарист Майкл Левитон: почему правда — не лучший помощник

Forbes
В корне проблемы В корне проблемы

Самые актуальные вопросы о красоте волос

Лиза
Джейсон Стейтем Джейсон Стейтем

Правила жизни Джейсона Стейтема

Esquire
Натальная карта и здоровье: как астрология может помочь лучше понять свое тело Натальная карта и здоровье: как астрология может помочь лучше понять свое тело

Чем нам может помочь натальная карта?

Cosmopolitan
Найден способ сделать перовскитовые солнечные батареи еще эффективнее Найден способ сделать перовскитовые солнечные батареи еще эффективнее

Ученые Нового физтеха ИТМО нашли способ повысить эффективность солнечных батарей

Популярная механика
«Женщина может все». Какой бизнес открывают мамы? «Женщина может все». Какой бизнес открывают мамы?

Всероссийская образовательная программа «Мама-предприниматель»

Cosmopolitan
Первый телефон Первый телефон

В начале XIX века в жизнь человечества вошел электрический телеграф

Вокруг света
Химия была, но мы расстались: как фотограф Ольга Павлова помогает пережить онкологию Химия была, но мы расстались: как фотограф Ольга Павлова помогает пережить онкологию

Фотограф Ольга Павлова — о фототерапии и лиге онкофотографов

Forbes
Открыть в приложении