Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Ученые нашли способ сделать бытовую технику компактнее Ученые нашли способ сделать бытовую технику компактнее

Разработка, которая позволит сделать основные компоненты приборов намного меньше

Популярная механика
Фаворитка Берии  Зоя Федорова: обвинение в шпионаже и загадочное убийство Фаворитка Берии  Зоя Федорова: обвинение в шпионаже и загадочное убийство

Жизнь актрисы Зои Федоровой похожа на кино

Cosmopolitan
Законы привлекательности: нужен ли дома макияж Законы привлекательности: нужен ли дома макияж

Зачем дома носить макияж и есть в ли в нем необходимость?

Psychologies
10 всеми любимых советских мультфильмов про школу 10 всеми любимых советских мультфильмов про школу

Вспомни смешные и добрые мультфильмы советского детства!

Maxim
Этот предприниматель учился бесплатно в 4 странах  ― как повторить его опыт Этот предприниматель учился бесплатно в 4 странах  ― как повторить его опыт

Образование предпринимателю не нужно, а если и нужно, то лучшее и дорогое?

Inc.
От Maybach с золотом до BMW из вторсырья: 7 необычных концепт-каров От Maybach с золотом до BMW из вторсырья: 7 необычных концепт-каров

Концепт-кары Мюнхенского автосалона

РБК
«Людей не надо выбрасывать на помойку». Иван Вырыпаев — о детях и Детских деревнях SOS «Людей не надо выбрасывать на помойку». Иван Вырыпаев — о детях и Детских деревнях SOS

Режиссер Иван Вырыпаев — что такое настоящая семья и как ее построить

СНОБ
7 самых смешных и опасных типажей клиентов в фитнес-клубе: берегись! 7 самых смешных и опасных типажей клиентов в фитнес-клубе: берегись!

Шесть типажах фитнес-клиентов, которых ты встретишь в каждом клубе

VOICE
5 блестящих фактов о волосах 5 блестящих фактов о волосах

Узнай, какие секреты скрывает твоя шевелюра

Maxim
Дизель генератор Дизель генератор

Вин Дизель: Жизнь на высоких оборотах

Men’s Health
Разрыв шаблона Разрыв шаблона

Крокодилы оказались птицами, а киты — родственниками лошадей

Вокруг света
Крах BlackBerry и триумф Apple: как гибкость мышления помогает предпринимателям создавать великие компании Крах BlackBerry и триумф Apple: как гибкость мышления помогает предпринимателям создавать великие компании

Отрывок из книги Адама Гранта «Подумайте еще раз» — как научиться мыслить гибко

Inc.
Лишения с рождения: что запрещено есть королевским детям Лишения с рождения: что запрещено есть королевским детям

Что и как едят королевские дети?

Cosmopolitan
Никто не услышит Никто не услышит

Звукоизолирующие межкомнатные двери

Идеи Вашего Дома
Неэффективный менеджер: пять черт характера, которые выдают плохого руководителя Неэффективный менеджер: пять черт характера, которые выдают плохого руководителя

Пять качеств, которые выдают плохого руководителя

Inc.
5 причин разрешить детям плакать 5 причин разрешить детям плакать

Почему детям, вне зависимости от пола, нужно давать плакать

Psychologies
В древнеегипетском городе Буто нашли коллекцию ритуальных предметов VII–VI веков до нашей эры В древнеегипетском городе Буто нашли коллекцию ритуальных предметов VII–VI веков до нашей эры

Археологи обнаружили предметы, связанные с культом богини Хатхор

N+1
Открытие. Imanbek Открытие. Imanbek

Imanbek вспоминает, как сделал трек за два часа и получил «Грэмми»

GQ
Вне поля зрения Вне поля зрения

Способы сделать шторный карниз невидимым

Идеи Вашего Дома
Интерьер–праздник Интерьер–праздник

Уникальный по эмоциональной яркости санкт–петербургский интерьер

SALON-Interior
«Через не хочу»: необходим ли секс для здоровья? «Через не хочу»: необходим ли секс для здоровья?

Действительно ли секс необходим организму и чем можно его заменить?

Psychologies
«Чувствуешь ли ты, что в чем-то до сих пор виноват?» Психолог Александр Рязанцев — о том, как пережить утрату «Чувствуешь ли ты, что в чем-то до сих пор виноват?» Психолог Александр Рязанцев — о том, как пережить утрату

Отрывок из книги Александра Рязанцева — о стадиях и способах переживания горя

СНОБ
Дистанционная работа Дистанционная работа

Что умеют современные умные розетки

Идеи Вашего Дома
Хвостик на контроле. Скандалы из-за «внешнего вида» школьников напоминают взрослым о базовых свободах Хвостик на контроле. Скандалы из-за «внешнего вида» школьников напоминают взрослым о базовых свободах

Школьные скандалы из-за «внешнего вида учащихся» стали нормой для начала осени

СНОБ
18 минут в день, чтобы стать успешным 18 минут в день, чтобы стать успешным

Всего 18 минут в день достаточно, чтобы в корне изменить течение жизни

Psychologies
Как купить машину, которая не теряет в цене Как купить машину, которая не теряет в цене

Выбирай автомобиль без глупостей!

Maxim
Как выйти замуж успешно: пошаговая инструкция от блогера Как выйти замуж успешно: пошаговая инструкция от блогера

Она поставила себе ясную цель, разбила ее на несколько задач

Psychologies
От «Дюны» до «Вечных»: 13 самых ожидаемых кинопремьер осени 2021 года От «Дюны» до «Вечных»: 13 самых ожидаемых кинопремьер осени 2021 года

Доставай календарь, чтобы планировать поход в кино!

Playboy
Обыкновенный садизм Обыкновенный садизм

Михаил Трофименков о сочувствии к палачам в «Холодном расчете» Пола Шрейдера

Weekend
Как возникло выражение «деловая колбаса»? Как возникло выражение «деловая колбаса»?

Откуда пошло выражение «деловая колбаса»?

Культура.РФ
Открыть в приложении