Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Роскошная Эшли Грэм: эффектные фото одной из самых известных плюс-сайз моделей Роскошная Эшли Грэм: эффектные фото одной из самых известных плюс-сайз моделей

История жизни и карьера американской модели Эшли Энн Грэм

Playboy
Чем заняться на Байкале: 6 активностей, которые стоит попробовать на Славном море Чем заняться на Байкале: 6 активностей, которые стоит попробовать на Славном море

Байкал ждет тебя в гости

Playboy
Какие виды абьюза чаще используют женщины Какие виды абьюза чаще используют женщины

Абьюзивные тактики, к которым по разным причинам женщины прибегают чаще мужчин

Psychologies
Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии Как перестать бояться летать на самолете: 7 способов избавиться от аэрофобии

Что вызывает страх полетов и как победить боязнь перед путешествием по небу

Playboy
Сдать ЕГЭ или найти свой путь – как выбрать? Сдать ЕГЭ или найти свой путь – как выбрать?

Какой должна быть школа, чтобы помочь ребенку найти свой путь?

Домашний Очаг
Накопить денег, рассчитать платёж по кредиту и возможный доход: полезные формулы для личных финансов Накопить денег, рассчитать платёж по кредиту и возможный доход: полезные формулы для личных финансов

Формулы для личных финансов: теория, примеры и шаблон для работы

VC.RU
Как Хелен Герли Браун подарила женщинам свободную любовь и одержимость диетами Как Хелен Герли Браун подарила женщинам свободную любовь и одержимость диетами

За что Герли Браун критикуют феминистки и за что стоит сказать ей «спасибо»

Forbes
Любовь побеждает всё: мужчина женился на любимой женщине после 35 лет разлуки Любовь побеждает всё: мужчина женился на любимой женщине после 35 лет разлуки

История любви, преодолевшая путь длиной почти в четыре десятилетия.

Cosmopolitan
Как научить ребенка ценить вещи Как научить ребенка ценить вещи

Что делать, если твой ребенок не знает цену вещам

Maxim
Не молчи об этом: 5 вещей, о которых нужно не стесняться говорить девушке в постели Не молчи об этом: 5 вещей, о которых нужно не стесняться говорить девушке в постели

Обсуждать эти моменты во время секса — вполне естественно и нормально

Playboy
Совсем запутались Совсем запутались

Праймеры, пасты, кремы, пудра – и все это для волос!

Лиза
Правила жизни Александра Овечкина Правила жизни Александра Овечкина

Правила жизни русского хоккеиста Александра Овечкина

Esquire
10 правил для первого секса с новым партнером 10 правил для первого секса с новым партнером

Первый секс с новым любовником всегда волнителен

Psychologies
Жизнь в лабиринте: почему в России все еще ждут новых романов Пелевина Жизнь в лабиринте: почему в России все еще ждут новых романов Пелевина

Виктор Пелевин может сыграть роль пророка, но чаще работает психотерапевтом

Forbes
Русский «Улисс»: каким получился фильм «Петровы в гриппе» Серебренникова Русский «Улисс»: каким получился фильм «Петровы в гриппе» Серебренникова

Критик Ярослав Забалуев делится впечатлениями о фильме «Петровы в гриппе»

РБК
Не делай так! Примеры ужасного автозагара - учимся на ошибках звезд Не делай так! Примеры ужасного автозагара - учимся на ошибках звезд

Эти звезды перестарались с автозагаром

Cosmopolitan
Почему исчезла цивилизация индейцев Майя Почему исчезла цивилизация индейцев Майя

Почему процветающая цивилизация Майя рухнула

Популярная механика
ПДД предложили включить в ЕГЭ. Зачем и когда это произойдет ПДД предложили включить в ЕГЭ. Зачем и когда это произойдет

Как может измениться школьная программа по изучению правил дорожного движения

РБК
Убить время, похоронить эпоху Убить время, похоронить эпоху

Что сделало «Клан Сопрано» первым современным сериалом

Weekend
«Выгорание — это ваш выбор»: необычный способ справиться с постоянной усталостью «Выгорание — это ваш выбор»: необычный способ справиться с постоянной усталостью

Все раздражает, а усталость накрывает, как только вы встали утром с постели?

Psychologies
Триатлон и зубная паста: 6 неявных признаков измены Триатлон и зубная паста: 6 неявных признаков измены

Эти сигналы говорят о том, что, вероятно, у твоего любимого появилась другая

Cosmopolitan
Найденный школьниками ископаемый гигантский пингвин получил научное описание 15 лет спустя Найденный школьниками ископаемый гигантский пингвин получил научное описание 15 лет спустя

Палеонтологи описали гигантского пингвина, который жил в Новой Зеландии

N+1
Песня про счастливого Песня про счастливого

Не более полутора минут – столько уйдет на чтение этого рассказа

Esquire
Отражение времени Отражение времени

Самые травматичные beauty-воспоминаниями – брови ниточкой и татуаж губ

Harper's Bazaar
Учиться или играть? И то, и другое Учиться или играть? И то, и другое

«Учиться – скучно». Что может возразить школа на этот упрёк учеников?

Домашний Очаг
Женское бритье лица: странный тренд, который возродился благодаря ТикТоку Женское бритье лица: странный тренд, который возродился благодаря ТикТоку

Женское бритье лица, kao sori и дермапланинг

Cosmopolitan
Рука для Терминатора: как создаются манипуляторы для российских андроидов Рука для Терминатора: как создаются манипуляторы для российских андроидов

Промобот: Как происходит разработка руд для российских андроидов

Популярная механика
Существует ли игровая зависимость и как часто она встречается Существует ли игровая зависимость и как часто она встречается

Как часто встречается игровая зависимость, и лечат ли ее?

Популярная механика
Соленый чай и Розовое озеро: зачем ехать в Калмыкию в любое время года Соленый чай и Розовое озеро: зачем ехать в Калмыкию в любое время года

Калмыкия — это бескрайние равнины и буддийское спокойствие

РБК
Очень тяжелые носители Очень тяжелые носители

Прототипы будущей сверхтяжелой ракеты Starship продолжают испытания

Популярная механика
Открыть в приложении