Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Технологии в музеях: как антибликовое стекло защищает ценные экспонаты и предметы искусства Технологии в музеях: как антибликовое стекло защищает ценные экспонаты и предметы искусства

Разработка и оформление витрин экспозиции ― важный этап для музейной выставки

Популярная механика
Воплотить в камне Воплотить в камне

Заказ и монтаж подоконника из искусственного камня

Идеи Вашего Дома
Палеогенетики выявили средневековых представителей клана Аба Палеогенетики выявили средневековых представителей клана Аба

Ученые прочитали ядерную ДНК 19 средневековых людей из некрополя в Абашаре

N+1
Удивительные сексуальные нравы Галантного века во Франции Удивительные сексуальные нравы Галантного века во Франции

Версальский двор — это главные затейники науки любви XVIII века

Maxim
Правила жизни Андрея Миронова Правила жизни Андрея Миронова

Актер умер 16 августа 1987 года в возрасте 46 лет в Риге, Латвия.

Правила жизни
Да, я Хофманнита Да, я Хофманнита

HOFMANNITA — о женской хип-хоп-сцене, рехабе и чувстве недооцененности

Собака.ru
Жан-Поль Бельмондо. Вечная импровизация Жан-Поль Бельмондо. Вечная импровизация

Жан-Поль Бельмондо — тот, кто делал нас счастливее

СНОБ
«Как я спасся с 81 этажа Центра международной торговли». Прямая речь американца, выжившего в теракте 11 сентября «Как я спасся с 81 этажа Центра международной торговли». Прямая речь американца, выжившего в теракте 11 сентября

Утром 11 сентября Майкл был клиентщиком, через 2 часа его жизнь перевернулась

Esquire
Запасной аэродром: как узнать, что ты им стала Запасной аэродром: как узнать, что ты им стала

Как понять, ухаживает он за тобой или просто держит «на всякий случай»?

Cosmopolitan
Назло зловредам: топ-7 лучших бесплатных антивирусов для Windows Назло зловредам: топ-7 лучших бесплатных антивирусов для Windows

Семь лучших бесплатных антивирусов, которые помогут защитить ваш компьютер

CHIP
Новый теропод из Узбекистана оказался верховным хищником своей экосистемы Новый теропод из Узбекистана оказался верховным хищником своей экосистемы

Теропод из Узбекистана мог достигать восьми метров в длину

N+1
Знаки отличия Знаки отличия

Экологичная косметика: читаем этикетки

Cosmopolitan
Озимые идут на север Озимые идут на север

Холодная весна — это отличная новость

Эксперт
Из оптически левитирующих частиц предложили сделать гироскоп Из оптически левитирующих частиц предложили сделать гироскоп

Физики изучили поведение левитирующей в оптическом пинцете микрочастицы

N+1
Накопить денег, рассчитать платёж по кредиту и возможный доход: полезные формулы для личных финансов Накопить денег, рассчитать платёж по кредиту и возможный доход: полезные формулы для личных финансов

Формулы для личных финансов: теория, примеры и шаблон для работы

VC.RU
Ромовая баба: история и королевский рецепт Ромовая баба: история и королевский рецепт

История ромовой бабы

Вокруг света
Besame mucho! 10 самых красивых испанских актеров — они сводят с ума весь мир Besame mucho! 10 самых красивых испанских актеров — они сводят с ума весь мир

Яркую во всех смыслах подборку испанских актеров

Cosmopolitan
Подобрать «Ключ»: как IT-бар превратился в сеть коворкингов и растет в пандемию Подобрать «Ключ»: как IT-бар превратился в сеть коворкингов и растет в пандемию

Почему сеть коворкингов «Ключ» не стала сворачивать развитие вопреки кризису

Forbes
Каких soft skills не хватает российским предпринимателям Каких soft skills не хватает российским предпринимателям

Какие софт скиллы особенно востребованы в бизнесе и почему

Inc.
«Когда у Земли было две Луны: Планеты-каннибалы, ледяные гиганты, грязевые кометы и другие светила ночного неба» «Когда у Земли было две Луны: Планеты-каннибалы, ледяные гиганты, грязевые кометы и другие светила ночного неба»

В нашем понимании процесса аккреции малых тел есть пробелы

N+1
Сладкая Ава Макс: эффектные фото новой поп-иконы Сладкая Ава Макс: эффектные фото новой поп-иконы

История жизни, фото и актуальная информация о личной жизни Авы Макс

Playboy
Шах и мак Шах и мак

Что ждет Афганистан, из которого ушли очередные сеятели разумного и доброго?

Maxim
Выделиться из потока: как привлечь внимание венчурного инвестора холодным письмом Выделиться из потока: как привлечь внимание венчурного инвестора холодным письмом

На чем нужно заострить внимание инвестора, чтобы выделиться в потоке проектов

Forbes
В Италии нашли самую большую коллекцию костяных орудий возрастом 400 тысяч лет В Италии нашли самую большую коллекцию костяных орудий возрастом 400 тысяч лет

Древние люди систематически обрабатывали останки слонов

N+1
Орёл и решка в Риме Орёл и решка в Риме

Коллекционные монеты стабильно растут в цене, вызывая интерес даже у ювелиров

Robb Report
Степняки начали пить молоко пять тысяч лет назад Степняки начали пить молоко пять тысяч лет назад

Ученые нашли молочные белки в зубном камне представителей ямной культуры

N+1
Страшная авария и неверный муж: две главные трагедии Фриды Кало Страшная авария и неверный муж: две главные трагедии Фриды Кало

По сути история жизни Фриды Кало — это история одной большой боли

Cosmopolitan
Отстань! Не мешай! Отвали, дед! Отстань! Не мешай! Отвали, дед!

Сегодня я задал себе вопрос: «Кто такой взрослый человек?»

ПУСК
Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР

Как Россия могла бы все же получить пользу от контактов с ОЭСР

Forbes
Гудбай, сайентолог! Как Кидман развелась с Крузом и зажила счастливо Гудбай, сайентолог! Как Кидман развелась с Крузом и зажила счастливо

Как развод с Томом Крузом сделал Николь Кидман звездой мирового масштаба?

Cosmopolitan
Открыть в приложении