Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Каким было самое первое животное на Земле и почему об этом так долго спорят Каким было самое первое животное на Земле и почему об этом так долго спорят

Претендент на звание самой древней ветви жизни, все это время обманывал нас

Популярная механика
«Прошлой ночью в Сохо» Эдгара Райта — почти не страшный, но красивый и мелодичный хоррор «Прошлой ночью в Сохо» Эдгара Райта — почти не страшный, но красивый и мелодичный хоррор

«Прошлой ночью в Сохо» — смешное, музыкальное и танцевальное зрелище

Esquire
Одомашнивание: как человек приручит микромир Одомашнивание: как человек приручит микромир

До конца десятилетия произойдет очередная революция: человек приручит микромир

Популярная механика
«Я не твоя собственность»: можно ли избавиться от созависимости «Я не твоя собственность»: можно ли избавиться от созависимости

Почему люди остаются в нездоровых отношениях?

Psychologies
Прививка от прыщей: неужели это реальность? Прививка от прыщей: неужели это реальность?

Дерматологи разработали вакцину, которая решит все кожные проблемы

Cosmopolitan
Полезная рутина Полезная рутина

Как привычки формируются и почему становятся зависимостями

N+1
Снимают фильмы, закрывают лица: как звезды пытаются помочь женщинам Афганистана Снимают фильмы, закрывают лица: как звезды пытаются помочь женщинам Афганистана

Как многие знаменитости пытаются помочь афганкам обрести свободу

Cosmopolitan
Что посмотреть и попробовать в Дагестане. Гид «РБК Стиль» Что посмотреть и попробовать в Дагестане. Гид «РБК Стиль»

Дагестан — аулы-призраки, горные реки, живописные водохранилища

РБК
Ком в горле и другие проблемы с шеей: от безобидных до очень опасных Ком в горле и другие проблемы с шеей: от безобидных до очень опасных

Любые изменения в шее пугают и заставляют волноваться

Cosmopolitan
На Сулавеси впервые обнаружили останки Homo sapiens эпохи плейстоцена На Сулавеси впервые обнаружили останки Homo sapiens эпохи плейстоцена

Археологи обнаружили на Сулавеси останки человека современного типа

N+1
В Уфе чиновники торжественно открыли светофор. Вспоминаем и другие чудные открытия В Уфе чиновники торжественно открыли светофор. Вспоминаем и другие чудные открытия

Так, чего доброго, до тотальной газификации дойдет!

Maxim
Альфонсы, женатики и скамеры: как распознать обманщика на сайте знакомств Альфонсы, женатики и скамеры: как распознать обманщика на сайте знакомств

Чего стоит опасаться при онлайн-знакомствах

Cosmopolitan
Как прекратить влюбляться в «плохих» Как прекратить влюбляться в «плохих»

Можно ли прекратить испытывать хроническое влечение к тем, с кем нам так плохо?

Psychologies
Они пели про гранитный камушек и черные глаза: где сегодня артисты одного хита Они пели про гранитный камушек и черные глаза: где сегодня артисты одного хита

Исполнители одного хита. Рассказываем, что стало с артистами спустя годы

Cosmopolitan
Соджорнер Трут: из рабыни — в активистки черного феминизма XIX века Соджорнер Трут: из рабыни — в активистки черного феминизма XIX века

Не умея читать и писать, она стала одной из первых темнокожих феминисток

Forbes
Транскраниальная магнитная стимуляция улучшила кратковременную вербальную память Транскраниальная магнитная стимуляция улучшила кратковременную вербальную память

Магнитная стимуляция оказалась полезной для запоминания

N+1
Предел функции Предел функции

Многоуровневый функциональный интерьер в духе конструктивистских ячеек XX века

AD
5 стадий разрыва отношений 5 стадий разрыва отношений

Расставание с партнером — это всегда непросто

Psychologies
Бизнес по-женски: опыт Лены Лежневой, основательницы бренда Lelu Kids Бизнес по-женски: опыт Лены Лежневой, основательницы бренда Lelu Kids

Как стать успешной в своем деле: основательница бренда детских платьев

Cosmopolitan
9 вопросов, которые улучшат вашу сексуальную жизнь 9 вопросов, которые улучшат вашу сексуальную жизнь

О чем следует спросить, чтобы ваш секс стал лучше?

Psychologies
Что посмотреть и попробовать в Кургане. Гид «РБК Стиль» Что посмотреть и попробовать в Кургане. Гид «РБК Стиль»

Курган заслуживает небольшой поездки на выходные

РБК
Ностальгия по лету: ироничные комиксы, в которых себя узнает каждая девушка Ностальгия по лету: ироничные комиксы, в которых себя узнает каждая девушка

Эпичные жизненные ситуации, с которыми сталкиваются девушки летом

Cosmopolitan
Танцы с пиками Танцы с пиками

Как Эйзенштейн планировал оправдать Сталина, а в результате его обличил

Weekend
Кто открыл ажиотажные чайные в Москве на деньги племянника «короля недвижимости» Кто открыл ажиотажные чайные в Москве на деньги племянника «короля недвижимости»

Чайная, в которую вложился племянник миллиардера Года Нисанова Эрвин

Forbes
Природные ресурсы Природные ресурсы

Интерьер, в котором главная роль отведена природе и натуральным материалам

AD
Ешь, спи, касайся: 7 простых способов сделать брак идеальным Ешь, спи, касайся: 7 простых способов сделать брак идеальным

Что надо делать, чтобы сохранить брак на долгие годы

Cosmopolitan
Обсуждение: нанимать разработчиков теперь ещё сложнее и дороже — на рынок пришли иностранные компании Обсуждение: нанимать разработчиков теперь ещё сложнее и дороже — на рынок пришли иностранные компании

Скоро закроется много неэффективных компаний

VC.RU
Дыши легче: как развивается тренд на здоровый образ жизни Дыши легче: как развивается тренд на здоровый образ жизни

Как обществе зародился тренд на здоровый образ жизни

СНОБ
Существует ли игровая зависимость и как часто она встречается Существует ли игровая зависимость и как часто она встречается

Как часто встречается игровая зависимость, и лечат ли ее?

Популярная механика
Питание строгого режима Питание строгого режима

Похудеть на несколько килограммов: всего лишь заказать готовую полезную еду

Худеем правильно
Открыть в приложении