Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Рассказы о двукрылых» «Рассказы о двукрылых»

Отрывок из книги диптеролога Никиты Вихрева о двукрылых

N+1
Хотим их все! Колье из «Титаника» и другие шикарные украшения из фильмов Хотим их все! Колье из «Титаника» и другие шикарные украшения из фильмов

Это не просто украшения, это действующие лица, которые сыграли в фильмах

Cosmopolitan
Два эффективных упражнения для формирования овала лица Два эффективных упражнения для формирования овала лица

Подтянутый овал лица делает нас визуально моложе

Psychologies
Почему у человека нет хвоста? Ответ генетиков Почему у человека нет хвоста? Ответ генетиков

У человека и человекообразных обезьян нет хвоста. Почему?

Популярная механика
Семейные традиции: по чьему сценарию мы живем и как его изменить? Семейные традиции: по чьему сценарию мы живем и как его изменить?

Мы думаем, что наша жизнь — это результат наших решений и действий, так ли это?

Psychologies
Школа в СССР и сейчас. Мы нашли 8 радикальных отличий Школа в СССР и сейчас. Мы нашли 8 радикальных отличий

Что было в школе СССР в сравнении с тем, что есть сейчас

Maxim
Зачем российским учёным виртуальный ядерный реактор Зачем российским учёным виртуальный ядерный реактор

НИЯУ МИФИ разрабатывают комплексный цифровой двойник учебного ядерного реактора

Популярная механика
Ракетоплан для инвестора: как суборбитальные полеты изменят рынок космических услуг Ракетоплан для инвестора: как суборбитальные полеты изменят рынок космических услуг

Пока суборбитальные полеты доступны миллиардерам-энтузиастам

Forbes
Юра Борисов — о режиссерах, их мирах, импровизации и опыте Юра Борисов — о режиссерах, их мирах, импровизации и опыте

Юра Борисов считает, что если за что-то и браться, то только по любви

РБК
Предел функции Предел функции

Многоуровневый функциональный интерьер в духе конструктивистских ячеек XX века

AD
История вопроса: рекрутская повинность История вопроса: рекрутская повинность

Когда появилась рекрутская повинность и выражение «забрить в солдаты»

Культура.РФ
Почему талибы не откажутся от казней? Рассказывает боевик Почему талибы не откажутся от казней? Рассказывает боевик

Талибы возвращаются к одной из самых жестоких тактик прошлого

Maxim
Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения Ландшафт Марса может защитить колонистов от смертоносного излучения

Особенности марсианского рельефа могут существенно понизить угрозу облучения

Популярная механика
Как наладить контакт с подростком: инструкция для родителей Как наладить контакт с подростком: инструкция для родителей

Советы психолога помогут найти подход к отдаляющемуся от вас подростку

Psychologies
От артрита до герпеса: 8 серьезных причин перестать грызть ногти От артрита до герпеса: 8 серьезных причин перестать грызть ногти

Привычка грызть ногти может привести к очень серьезным последствиям для здоровья

Cosmopolitan
Каникулы по принуждению: что стоит за недельным отпуском для сотрудников Nike Каникулы по принуждению: что стоит за недельным отпуском для сотрудников Nike

Как Nike показал, что психическое здоровье персонала имеет существенное значение

Inc.
Мужской фактор Мужской фактор

Причина бесплодия может быть не только в женщине, но и в мужчине

Лиза
Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой Атомная бомба нацистов: как ученые изучают урановые кубы Второй мировой

Немецкие разработки ядерного оружия во время Второй мировой покрыты тайной

Популярная механика
СБПЧ записали музыкальную сказку «Потерянное зеркальце» по произведению художника Павла Пепперштейна. Публикуем текстовый фрагмент СБПЧ записали музыкальную сказку «Потерянное зеркальце» по произведению художника Павла Пепперштейна. Публикуем текстовый фрагмент

Музыкальная сказка «Потерянное зеркальце» по мотивам произведения Пепперштейна

Esquire
Криптобудущее Криптобудущее

Жизненный цикл цивилизаций и наступающая эпоха свободы

Популярная механика
Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР Сотрудничество без развития: почему не получается взаимодействие России и ОЭСР

Как Россия могла бы все же получить пользу от контактов с ОЭСР

Forbes
9 признаков здоровых сексуальных отношений 9 признаков здоровых сексуальных отношений

Как отличить здоровые сексуальные отношения?

Psychologies
Шикарная Виктория Бекхэм: дразнящие фото певицы, дизайнера и светской львицы Шикарная Виктория Бекхэм: дразнящие фото певицы, дизайнера и светской львицы

Фотографии Виктории Бекхэм и история жизни Пош из Spice Girls.

Playboy
Николай Блохин: Николай Блохин:

Художник Николай Блохин — о творческом становлении, картинах и успехе

Караван историй
Накануне финала Накануне финала

Почему сомелье может стать исчезающей профессией

Forbes
«У нас дочь и замок в Англии, но мы не женаты»: как относятся к браку в Европе «У нас дочь и замок в Англии, но мы не женаты»: как относятся к браку в Европе

Что в Европе думают о замужестве?

Cosmopolitan
«Мы хотим разрушить всё, за что выступают Amazon и Facebook»: на что сервис обмена продуктами Olio привлёк $43 млн «Мы хотим разрушить всё, за что выступают Amazon и Facebook»: на что сервис обмена продуктами Olio привлёк $43 млн

Как сервис Olio помогает ресторанам и кафе избавиться от пищевых отходов

VC.RU
Как работает эрекция: ответы на вопросы, которые давно тебя мучат Как работает эрекция: ответы на вопросы, которые давно тебя мучат

Разбираем, что стоит за эрекцией — столь важным для половой жизни процессом

Playboy
Счастье из воздуха Счастье из воздуха

В светской Москве новый тренд — дышать газом

Tatler
«Раньше было лучше»: картина Вермеера после реставрации вызвала споры в Сети «Раньше было лучше»: картина Вермеера после реставрации вызвала споры в Сети

Почему реставрации не всегда приходятся по вкусу ценителям искусства

Psychologies
Открыть в приложении