Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Такое вам точно снилось: типичные сны и их значение Такое вам точно снилось: типичные сны и их значение

Трактовка самых популярных снов

Популярная механика
Не уйти в желтизну! 5 лайфхаков для вау-эффекта после окрашивания в блонд Не уйти в желтизну! 5 лайфхаков для вау-эффекта после окрашивания в блонд

Как сохранить идеально холодный оттенок блонда после окрашивания?

Cosmopolitan
«Я должна была голой раздвинуть ноги»: Анна Уколова о работе с Серебренниковым «Я должна была голой раздвинуть ноги»: Анна Уколова о работе с Серебренниковым

Анна Уколова высказалась о работе с Кириллом Серебренниковым

Cosmopolitan
Почему в США был запрещен нарезанный хлеб? Почему в США был запрещен нарезанный хлеб?

История о том, как пальцы американских домохозяек оказались в опасности

Maxim

Как превратить ваши волшебные первые свидания в настоящие отношения?

Cosmopolitan
По-королевски: как выглядели Елизавета II, ее дети и внуки в день своей свадьбы По-королевски: как выглядели Елизавета II, ее дети и внуки в день своей свадьбы

Как выглядели члены британской королевской семьи в день своей свадьбы

Cosmopolitan
Мы собрали для вас 10 классных фильмов о рок-музыкантах Мы собрали для вас 10 классных фильмов о рок-музыкантах

История Джона Леннона, творчество Курта Кобейна и воспоминания Боба Дилана

GQ
Летающее полено, которое не мог догнать никто: история безоружного бомбардировщика «Москито» Летающее полено, которое не мог догнать никто: история безоружного бомбардировщика «Москито»

Почти по рецепту из русских сказок…

Maxim
Шарлотта Макконахи: Миграции. Отрывок из нового романа Шарлотта Макконахи: Миграции. Отрывок из нового романа

Отрывок из романа Шарлотты Макконахи о бегстве от своего прошлого и поиске себя

СНОБ
Павел Табаков, Иван Янковский и другие сексуальные сыновья российских артистов Павел Табаков, Иван Янковский и другие сексуальные сыновья российских артистов

Знаменитые отцы могут гордиться своими достойными наследниками

Cosmopolitan
15 привычек родом из СССР, от которых очень трудно избавиться 15 привычек родом из СССР, от которых очень трудно избавиться

Привычки Советской империи, которые передаются через поколения

Cosmopolitan
Эвакуация с Гавайев на материк спасет вымирающих цветочниц от малярии Эвакуация с Гавайев на материк спасет вымирающих цветочниц от малярии

Что позволит спасти цветочниц-попугаеклювов неминуемого исчезновения?

N+1
Hofmannita: «Когда в кошельке много денег, такие вещи, как цена, тебя не заботят» Hofmannita: «Когда в кошельке много денег, такие вещи, как цена, тебя не заботят»

Hofmannita — о том, как и на что тратит заработанное

ЖАРА Magazine
Зачем аммониты превращали свои раковины в фантастические фракталы Зачем аммониты превращали свои раковины в фантастические фракталы

Структура стенок раковин древних моллюсков служила весьма практичным целям

Популярная механика
7 толстяков, невероятно популярных у женщин 7 толстяков, невероятно популярных у женщин

Ударим мужским бодипозитивом по двойным стандартам и слащавым красавчикам!

Maxim
CRISPR-инструмент отредактировал геном без разрывов ДНК CRISPR-инструмент отредактировал геном без разрывов ДНК

Система CRISPRoff способна подавлять активность генов, не внося мутаций в ДНК

N+1
Неизвестная физика: ученые подтвердили наблюдаемое нарушение Стандартной модели Неизвестная физика: ученые подтвердили наблюдаемое нарушение Стандартной модели

Российские физики рассказали о несовершенстве хорошо знакомой Стандартной модели

Популярная механика
Глупость или гениальность Глупость или гениальность

Покупка картинки за $69,3 млн может стать лучшей инвестиционной идеей

Forbes
«Иуда и Черный мессия» о войне полиции и Черных пантер — самый спорный фильм этого «Оскара» «Иуда и Черный мессия» о войне полиции и Черных пантер — самый спорный фильм этого «Оскара»

Почему стоит смотреть «Иуда и Черный мессия» и ждать ли от него сюрпризов

Esquire
Ученые нашли доказательства масштабной добычи изумрудов в римском Египте Ученые нашли доказательства масштабной добычи изумрудов в римском Египте

В позднеримскую эпоху на территории Египта располагались изумрудные копи

N+1
5 стран, в которых лучше не рождаться женщиной 5 стран, в которых лучше не рождаться женщиной

Страны, в которых женщина не считается человеком

Cosmopolitan
ALMA отыскала 43 протозвезды в центре Млечного Пути ALMA отыскала 43 протозвезды в центре Млечного Пути

Это означает, что процессы звездообразования более устойчивы, чем считалось

N+1
Что такое безуглеводная диета и чем она опасна Что такое безуглеводная диета и чем она опасна

Стоит ли придерживаться безуглеводной диеты для улучшения здоровья?

РБК
«Лучше опухоль мозга, чем это»: честный рассказ о жизни с редкой болезнью «Лучше опухоль мозга, чем это»: честный рассказ о жизни с редкой болезнью

Боковой амиотрофический склероз также называют болезнью Хокинга

Cosmopolitan
Универсальный, симпатичный и вполне надёжный. Hyundai Creta на вторичном рынке Универсальный, симпатичный и вполне надёжный. Hyundai Creta на вторичном рынке

Что делать тем, кто хочет купить Hyundai Creta на вторичном рынке?

4x4 Club
Коктейльная карта: история классического коктейля «Гимлет» на джине Коктейльная карта: история классического коктейля «Гимлет» на джине

История легендарного коктейля «Гимлет»

Esquire
Сразу в дамки: новые российские миллиардеры в рейтинге Forbes Сразу в дамки: новые российские миллиардеры в рейтинге Forbes

Шесть новых русских миллиардеров

Forbes
14 интересных фактов про премию «Оскар», которых вы не знали 14 интересных фактов про премию «Оскар», которых вы не знали

15-минутная церемония, отлучение Ричарда Гира, победа советского фильма и другое

GQ
Космическая пушка, астральная проекция на Марсе и другие ранние планы покорения космоса Космическая пушка, астральная проекция на Марсе и другие ранние планы покорения космоса

Как люди представляли полеты в космос в конце XIX века

Популярная механика
Открыть в приложении