Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Про ростки и листики Про ростки и листики

Мало кто понимает, как употреблять проростки, а главное – в чём их польза.

Здоровье
Вот это сюрприз: британка забеременела во время беременности Вот это сюрприз: британка забеременела во время беременности

Можно ли забеременеть во время беременности?

Cosmopolitan
Как перестать разговаривать во сне: эффективные шаги к тихому отдыху Как перестать разговаривать во сне: эффективные шаги к тихому отдыху

Определение сомнилоквии и рекомендации, как перестать говорить во сне.

Playboy
И жить, и трудиться! И жить, и трудиться!

Можно ли объединить социалистический и буржуазный быт?

SALON-Interior
Марсоход NASA стал первым, кто добыл кислород из марсианской атмосферы Марсоход NASA стал первым, кто добыл кислород из марсианской атмосферы

Процесс, который может помочь астронавтам основать колонию на Красной планете.

Популярная механика
Семейный уют вместо тусовок и карьеры: 5 звезд, которых изменило материнство Семейный уют вместо тусовок и карьеры: 5 звезд, которых изменило материнство

Рождение ребенка меняет жизнь, и это доказывают наши героини — знаменитые мамы

Cosmopolitan
Три Иисуса в одной палате: самый странный психиатрический эксперимент Три Иисуса в одной палате: самый странный психиатрический эксперимент

Что будет, если свести в клинике трех человек, которые считают себя Иисусами?

Cosmopolitan
Снимите это немедленно Снимите это немедленно

Союз больших модных Домов и артхаусных режиссеров как win-win-стратегия

Vogue
«Превосходит даже американский!» Обзор сухпайка африканской армии, полный диковин и открытий «Превосходит даже американский!» Обзор сухпайка африканской армии, полный диковин и открытий

Есть ли в африканском сухпайке тушенка, галеты и портянки?

Maxim
Дать жару: какие выгоды от глобального потепления обнаружили экономисты для России Дать жару: какие выгоды от глобального потепления обнаружили экономисты для России

Глобальное потепление может оказаться выгодным для северных территорий России

Forbes
Течение Куросио унесло выброшенный воздушный шарик на рекордную глубину в 5800 метров Течение Куросио унесло выброшенный воздушный шарик на рекордную глубину в 5800 метров

Ежегодно в океан поступает порядка 10 миллионов тонн пластика

N+1
Ключи от неба Ключи от неба

Актер Павел Прилучный о новом фильме, Кинотавре и Агате Муцениеце

OK!
В Мексике нашли остатки пирамиды времен образования ацтекской империи В Мексике нашли остатки пирамиды времен образования ацтекской империи

Найден артефакт ацтекской империи

N+1
5 причин посмотреть фильм про российскую Арктику и отправиться на край света 5 причин посмотреть фильм про российскую Арктику и отправиться на край света

Главные особенности фильма «Фьюжн» и почему на него стоит обратить внимание

Cosmopolitan
12 самых необычных злодеев кино 12 самых необычных злодеев кино

Хорошо быть злодеем! Но еще лучше быть не таким злодеем, как все

Maxim
Жидкая вода на Марсе могла существовать благодаря ледяным облакам Жидкая вода на Марсе могла существовать благодаря ледяным облакам

Огромные облака могли создавать на Марсе парниковый эффект

Популярная механика
Сутки за час: найдено трио коричневых карликов, вращающихся с невероятной скоростью Сутки за час: найдено трио коричневых карликов, вращающихся с невероятной скоростью

Возможно, у «несостоявшихся звезд» есть встроенное ограничение скорости

Популярная механика
Откладывай на завтра, работай пять минут: 7 неожиданных способов всё успеть Откладывай на завтра, работай пять минут: 7 неожиданных способов всё успеть

Неожиданные, но эффективные способы распределять дела и ставить приоритеты

Cosmopolitan
Трусы для месячных: стоит ли купить и забыть о тампонах, прокладках и протекании Трусы для месячных: стоит ли купить и забыть о тампонах, прокладках и протекании

Индустрия товаров для «этих дней» претерпевает колоссальные изменения

Cosmopolitan
Твой «железный конь»: как правильно выбрать велосипед взрослому мужчине Твой «железный конь»: как правильно выбрать велосипед взрослому мужчине

Основные виды велосипедов и подсказки по выбору идеальной для тебя модели

Playboy
Устраняла конкуренток, работала учителем: неизвестные факты и мифы о Пугачёвой Устраняла конкуренток, работала учителем: неизвестные факты и мифы о Пугачёвой

Интересные и удивительные факты о жизни Аллы Пугачевой

Cosmopolitan
Новый мир в штате Чьяпас Новый мир в штате Чьяпас

Жизнь революционных сапатистов

Вокруг света
Депрессию и биполярное расстройство предложили диагностировать по анализу крови Депрессию и биполярное расстройство предложили диагностировать по анализу крови

Биомаркеры, которые позволят диагностировать депрессию и биполярное расстройство

N+1
Влюбленность и любовь: в чем отличие между этими чувствами Влюбленность и любовь: в чем отличие между этими чувствами

Определение влюбленности и любви и разница между этими двумя чувствами

Playboy
Скальпель vs аппаратные процедуры: что быстрее омолодит и сделает лицо красивым Скальпель vs аппаратные процедуры: что быстрее омолодит и сделает лицо красивым

Косметолог или все-таки хирург?

Cosmopolitan
«Нобели. История моей семьи: династия ученых, инженеров, предпринимателей» «Нобели. История моей семьи: династия ученых, инженеров, предпринимателей»

Роль Людвига Нобеля в развитии транспортировки нефти в России

N+1
«Я весила 100 кг»: читательница рассказала, как похудела после резекции желудка «Я весила 100 кг»: читательница рассказала, как похудела после резекции желудка

Честная история о своей борьбе с лишним весо

Cosmopolitan
Любимые женщины культового актера Данилы Козловского: от Боярской до Акиньшиной Любимые женщины культового актера Данилы Козловского: от Боярской до Акиньшиной

Данила Козловский – один из самых успешных российских артистов, любимчик женщин

Cosmopolitan
«Я бросила детей, но люблю их»: как живут россиянки, ставшие матерями в детстве «Я бросила детей, но люблю их»: как живут россиянки, ставшие матерями в детстве

Истории нескольких несовершеннолетних мам

Cosmopolitan
Открыть в приложении