Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
Русские адреса Рима Русские адреса Рима

Виртуальная прогулка по итальянской столице

Лиза
Падающие башни России. Часть 2 Падающие башни России. Часть 2

Падающие башни России: Пречистенская надвратная колокольня и другие

Культура.РФ
«Остров обреченных». Отрывок романа одного из наиболее трагичных и плодовитых шведских прозаиков ХХ века Стига Дагермана «Остров обреченных». Отрывок романа одного из наиболее трагичных и плодовитых шведских прозаиков ХХ века Стига Дагермана

Отрывок из романа классика шведского модернизма Стига Дагермана

Esquire
В чепце и фартуке: журналистка под прикрытием в домах английских аристократов В чепце и фартуке: журналистка под прикрытием в домах английских аристократов

Элизабет Бэнкс показала, как среди аристократов живут низшие слои общества

Cosmopolitan
Орнитологи насчитали рекордное количество редчайших австралийских попугайчиков Орнитологи насчитали рекордное количество редчайших австралийских попугайчиков

Золотистобрюхие травяные попугайчики — одни из самых редких попугаев мира

N+1
Электромагнитная пушка: рельсотрон и его перспективы Электромагнитная пушка: рельсотрон и его перспективы

Что мешает электромагнитной пушке воцариться на полях сражений?

Популярная механика
12 глубоководных фактов о Суэцком канале —  главной морской срезке в истории человечества 12 глубоководных фактов о Суэцком канале —  главной морской срезке в истории человечества

Суэцкий канал — место с самыми дорогими пробками в мире

Maxim
Что случилось с Zaycev.Net: история популярного музыкального сайта 2000-х, который теперь спасается от блокировок Что случилось с Zaycev.Net: история популярного музыкального сайта 2000-х, который теперь спасается от блокировок

Zaycev.Net. Как попытки работать легально закончились закрытием главной фишки

VC.RU
Не только перевал Дятлова: таинственные исчезновения туристов в СССР Не только перевал Дятлова: таинственные исчезновения туристов в СССР

Исчезновение группы Игоря Дятлова далеко не единственное в истории туризма

Cosmopolitan
Кино на экспорт: 10 современных российских режиссеров, которых ценят на Западе Кино на экспорт: 10 современных российских режиссеров, которых ценят на Западе

Фильмы этих российских режиссеров становятся событием на Западе

Cosmopolitan
7 лучших сборников современных переводных рассказов — от авторов, которые вас не разочаруют 7 лучших сборников современных переводных рассказов — от авторов, которые вас не разочаруют

Екатерина Баева собрала список большой литературы в малых формах

Esquire
15 фактов о фильме «Титаник», которые заставят вас взглянуть на него иначе! 15 фактов о фильме «Титаник», которые заставят вас взглянуть на него иначе!

Эти факты о «Титанике» тебе точно были неизвестны

Cosmopolitan
6 самых страшных советских маньяков 6 самых страшных советских маньяков

Не Чикатило единым славилась советская криминалистика

Maxim
Путин хочет сократить количество детей мигрантов в школах, чтобы они «не создавали проблем». Что об этом думают учителя и родители? Путин хочет сократить количество детей мигрантов в школах, чтобы они «не создавали проблем». Что об этом думают учителя и родители?

Владимир Путин предложил следить за количеством мигрантов в российских школах

СНОБ
Для помолвки и «мести» мужу: самые известные украшения принцессы Дианы Для помолвки и «мести» мужу: самые известные украшения принцессы Дианы

Каждый предмет в коллекции леди Ди обладал особенной историей

Cosmopolitan
Кто придумывает, строит квесты и опасны ли они для человека Кто придумывает, строит квесты и опасны ли они для человека

Вопросы о квестах и интерактивных шоу гендиректору сети «Клаустрофобия»

Maxim
Насилию бой! Насилию бой!

Ответы на самые сложные и популярные вопросы о насилии

Maxim
Взять под опеку Взять под опеку

Стоит ли в городе пользоваться средствами с SPF?

Psychologies
Свои в доску: 6 выдающихся шахматисток Свои в доску: 6 выдающихся шахматисток

Женщины, которые играют в шахматы, несмотря на предрассудки

Forbes
Игровое кино: какие технологии помогли Бекмамбетову снять блокбастер Игровое кино: какие технологии помогли Бекмамбетову снять блокбастер

Тимур Бекбамбетов — о технологиях, использованных на съемках фильма «Девятаев»

Популярная механика
Странные лайфхаки, которые все же работают Странные лайфхаки, которые все же работают

Очень нетривиальные способы справиться с жизненными трудностями

Maxim
Сногсшибательные актрисы, о которых все забыли Сногсшибательные актрисы, о которых все забыли

Когда-то им поклонялись миллионы, но сейчас о них почти ничего не слышно

Maxim
Мой голос – всегда решающий! Мой голос – всегда решающий!

Светлана Лобода неизменно в фокусе внимания публики

Добрые советы
Внутренний монолог помог роботу справиться с моральной дилеммой Внутренний монолог помог роботу справиться с моральной дилеммой

Итальянские робототехники научили робота-помощника по имени Pepper думать вслух

N+1
Астрономы нашли два новых скопления галактик Астрономы нашли два новых скопления галактик

Астрономы подвели итоги обзора неба CHiPS

N+1
Венчурный инвестор подсел на наркотики, азартные игры и женщин. Сможет ли он исцелиться и заслужить прощение? Венчурный инвестор подсел на наркотики, азартные игры и женщин. Сможет ли он исцелиться и заслужить прощение?

Подробный бизнес-план буйного кутежа

Inc.
Только вперед Только вперед

Медиум Алена Мельникова создает будущее гастрономического Петербурга

Собака.ru
Откладывай на завтра, работай пять минут: 7 неожиданных способов всё успеть Откладывай на завтра, работай пять минут: 7 неожиданных способов всё успеть

Неожиданные, но эффективные способы распределять дела и ставить приоритеты

Cosmopolitan
От голого живота к полуобнаженной груди: как менялся стиль Екатерины Климовой От голого живота к полуобнаженной груди: как менялся стиль Екатерины Климовой

Екатерина Климова – многодетная мама, успешная актриса и привлекательная женщина

Cosmopolitan
Открыть в приложении