Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Любимые мужчины Ветлицкой, Овсиенко и других солисток группы «Мираж» Любимые мужчины Ветлицкой, Овсиенко и других солисток группы «Мираж»

Браки и интрижки солисток группы «Мираж»

Cosmopolitan
О вкусных и здоровых мутантах. Как перестать бояться и полюбить продукты с ГМО О вкусных и здоровых мутантах. Как перестать бояться и полюбить продукты с ГМО

Современная еда вовсе не страшная и не вредная

Maxim
$41 млн за 12 месяцев: сколько зарабатывают номинанты на «Оскар» $41 млн за 12 месяцев: сколько зарабатывают номинанты на «Оскар»

Пятеро актеров, номинированных на «Оскар-2021», заработали $41 млн

Forbes
Как в Советском Союзе запустили первую в мире мобильную сеть Как в Советском Союзе запустили первую в мире мобильную сеть

Что-то в СССР появлялось первым, однако рассказать об этом было нельзя

Maxim
Странные лайфхаки, которые все же работают Странные лайфхаки, которые все же работают

Очень нетривиальные способы справиться с жизненными трудностями

Maxim
Наследство Ходорковского: кто заработал на бывшей недвижимости ЮКОСа Наследство Ходорковского: кто заработал на бывшей недвижимости ЮКОСа

Что помогло Сергею Сударикову стать миллиардером?

Forbes
Хвост кометы в Краснодаре: как кубанец конкурирует с «Яндекс.Едой» и Delivery Club на юге России Хвост кометы в Краснодаре: как кубанец конкурирует с «Яндекс.Едой» и Delivery Club на юге России

Как локальный сервис Broniboy конкурирует с Delivery Club и «Яндекс.Едой»

Forbes
Поцелуй смерти. История одной фотографии Поцелуй смерти. История одной фотографии

Он был аристократ и гонщик, она — актриса и мать Ромины Пауэр

Maxim
Не лучше плацебо: ученые утверждают, что парацетамол не работает Не лучше плацебо: ученые утверждают, что парацетамол не работает

Правда ли, что парацетамол не эффективен

Cosmopolitan
Не надо стесняться: российские звезды с большим размером ноги Не надо стесняться: российские звезды с большим размером ноги

Если у тебя большой размер ноги, бери пример с этих успешных красоток

Cosmopolitan
Тогда и сейчас: как выглядят юные актеры культового сериала «Сваты» Тогда и сейчас: как выглядят юные актеры культового сериала «Сваты»

Детей из сериала «Сваты» уже можно узнать с трудом

Cosmopolitan
Як-42Д: метеорологический самолёт нового поколения Як-42Д: метеорологический самолёт нового поколения

Перед нами Як-42Д — одна из самых удачных конструкций советского авиапрома

Популярная механика
Отказ печени и кома: к чему приводит прием средства для увеличения ягодиц Отказ печени и кома: к чему приводит прием средства для увеличения ягодиц

Последовательницы тренда на объемы в духе Ким Кардашьян идут на страшные вещи

Cosmopolitan
Как выглядели убийцы Джанни Версаче, Джона Леннона, Брэндона Ли и других звезд Как выглядели убийцы Джанни Версаче, Джона Леннона, Брэндона Ли и других звезд

Как выглядели Кьюненен и убийцы других звезд на самом деле?

Cosmopolitan
История о том, как 15 кораблей застряли в Суэцком канале на 8 лет История о том, как 15 кораблей застряли в Суэцком канале на 8 лет

Как в Суэцком канале несколько сотен человек стояли в самой долгой пробке

Maxim
Токсичная помощь: как российское государство поддерживает инновации Токсичная помощь: как российское государство поддерживает инновации

Предпочтительно, чтобы развитие экономики шло за счет более сложных отраслей

Forbes
Антон Криворотов и и группа «582» Антон Криворотов и и группа «582»

Доктор/музыкант Антон Криворотов — почему нужно быть мультифункциональным

ЖАРА Magazine
У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения У стареющих звёзд оказалась необычно высокая скорость вращения

В прошлом потеря скорости считалась незыблемым свойством звёзд, но это не так

Популярная механика
Возраст наскальных рисунков в Игнатьевской пещере определили уран-ториевым датированием Возраст наскальных рисунков в Игнатьевской пещере определили уран-ториевым датированием

Исследование натечного камня в пещере скорректировало радиоуглеродные даты

N+1
Капсулы с ферментом помогли пластику разложиться Капсулы с ферментом помогли пластику разложиться

Поликапролактон с инкапсулированным ферментом можно разложить за 24 часа

N+1
Что и как нужно пить во время занятий спортом Что и как нужно пить во время занятий спортом

Как правильно соблюдать питьевой баланс во время тренировок?

GQ
Что такое «Крабик» и как он может спасти процессы в вашей команде Что такое «Крабик» и как он может спасти процессы в вашей команде

«Крабик» — это фреймворк способ изучить структуру системы и усовершенствовать ее

Популярная механика
Неудачный подарок разрушил отношения двух подруг Неудачный подарок разрушил отношения двух подруг

Обидеть другого можно, даже приняв неудачный подарок

Psychologies
Экадаши Экадаши

Религиозный пост для стройности

Худеем правильно
Потолстеть к лету: как набрать вес и не навредить здоровью Потолстеть к лету: как набрать вес и не навредить здоровью

Проблема набора веса не менее актуальна, чем избавление от лишних килограммов

Cosmopolitan
Как учиться онлайн: правила самоорганизации и ментального здоровья Как учиться онлайн: правила самоорганизации и ментального здоровья

Как не забросить онлайн-образование, став жертвой собственной прокрастинации

РБК
Закопать останки: как коллекция из 1300 черепов продвигала идею превосходства белой расы Закопать останки: как коллекция из 1300 черепов продвигала идею превосходства белой расы

Коллекция человеческих черепов Сэмюэль Дж. Мортона — наследие векового расизма

Forbes
Может, договоримся? Может, договоримся?

Как найти общий язык с ребенком

Лиза
Олег Трофим Олег Трофим

Режиссер Олег Трофим жжет огнем улицы Петербурга и срывает овации фанатов

Собака.ru
Открыть в приложении