Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
Как перевести семью на правильное питание: 10 советов, которые работают Как перевести семью на правильное питание: 10 советов, которые работают

Что делать с домочадцами, которые не желают брать курс на здоровое питание

Cosmopolitan
Мой голос – всегда решающий! Мой голос – всегда решающий!

Светлана Лобода неизменно в фокусе внимания публики

Добрые советы
14 интересных фактов про премию «Оскар», которых вы не знали 14 интересных фактов про премию «Оскар», которых вы не знали

15-минутная церемония, отлучение Ричарда Гира, победа советского фильма и другое

GQ
Жаришь или отжигаешь? Как знаки зодиака отдыхают на майских шашлыках Жаришь или отжигаешь? Как знаки зодиака отдыхают на майских шашлыках

Наш Магический шар рассказывает, как именно ты обычно отдыхаешь в праздники

Cosmopolitan
Как понять, что ты киберсталкер: чеклист из 8 признаков, что твой интерес к кому-то перерос во что-то плохое Как понять, что ты киберсталкер: чеклист из 8 признаков, что твой интерес к кому-то перерос во что-то плохое

Порой самостоятельно понять, перешел ли ты уже черту, бывает трудно

Playboy
Приставка для инвалидного кресла, архитектура будущего и другие крутые инновации резидентов креативного кластера Приставка для инвалидного кресла, архитектура будущего и другие крутые инновации резидентов креативного кластера

Какие инновационные проекты реализуют резиденты кластера Artplay

Популярная механика
Ювелир Илья Клюев о том, почему бижутерия не заменит настоящие ювелирные изделия Ювелир Илья Клюев о том, почему бижутерия не заменит настоящие ювелирные изделия

Известный ювелир, владелец российского ювелирного дома CLUEV - Илья Клюев

Cosmopolitan
Он сказал «Поехали!»: самые захватывающие фильмы о космосе Он сказал «Поехали!»: самые захватывающие фильмы о космосе

Фильмы о космосе. Мы выбрали несколько, чтобы посмотреть в День космонавтики

Cosmopolitan
NFC-чип позволил проверить давление в велосипедном колесе со смартфона NFC-чип позволил проверить давление в велосипедном колесе со смартфона

Tubolito представила велосипедную камеру со встроенным датчиком давления

N+1
Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций Снять стресс за минуту: 6 коротких медитаций

Медитация — один из самых эффективных и доступных способов борьбы со стрессом

Psychologies
История цирка в России История цирка в России

О первых стационарных цирках, которые работают до сих пор

Культура.РФ
Тим Феррис посоветовал 3 книги, которые учат справляться с трудностями Тим Феррис посоветовал 3 книги, которые учат справляться с трудностями

Может ли чтение книги сделать вас более морально устойчивым?

Inc.
Купил, но не прошёл Купил, но не прошёл

Почему столько онлайн-курсов лежат непройденными и как разорвать этот круг

VC.RU
7 фильмов о злых компьютерах 7 фильмов о злых компьютерах

Стоило компьютерам только появиться, как мы сразу же стали бояться

Maxim
Почему ухудшается зрение: 5 главных причин Почему ухудшается зрение: 5 главных причин

Почему мы начинаем хуже видеть и как сохранить остроту зрения на долгие годы?

Psychologies
5 вещей, которые укрепят ваш иммунитет 5 вещей, которые укрепят ваш иммунитет

Как помочь иммунитету работать в полную силу?

Популярная механика
Тогда и сейчас: как выглядели в юности Снигирь, Рудова, Климова и другие актрисы Тогда и сейчас: как выглядели в юности Снигирь, Рудова, Климова и другие актрисы

Звезды, которые комплексовали по поводу своей внешности

Cosmopolitan
Муравьиная кислота помогла солнечным элементам стать эффективней и стабильней Муравьиная кислота помогла солнечным элементам стать эффективней и стабильней

Ионы формиата заполняют вакансии иода на границе перовскитных кристаллов

N+1
«Вынь руки из-под одеяла!»: когда родители вторгаются в интимную жизнь детей «Вынь руки из-под одеяла!»: когда родители вторгаются в интимную жизнь детей

Почему не нужно контролировать сексуальное развитие детей с помощью запретов

Psychologies
Быть рядом всегда Быть рядом всегда

Они прожили вместе 73 года

Лиза
Как выглядят дочери Милы Йовович и других голливудских актрис с русскими корнями Как выглядят дочери Милы Йовович и других голливудских актрис с русскими корнями

Знаменитые актрисы вдохновляют собственным примером красавиц-дочерей

Cosmopolitan
Это лишает тебя стиля — неочевидные ошибки при выборе модного тренча Это лишает тебя стиля — неочевидные ошибки при выборе модного тренча

Тренчкот — классика женского гардероба

Cosmopolitan
Почему некоторые люди путают право и лево? Почему некоторые люди путают право и лево?

Почему некоторым людям сложно отличать право и лево

Psychologies
Как перестать заедать стресс? Как перестать заедать стресс?

Как избавиться от привычки переедать?

Здоровье
Я верю в того самого белого кролика Я верю в того самого белого кролика

Когда читаешь сказки Евгения Клюева, сразу не угадаешь, когда они были написаны

Seasons of life
Павел Табаков, Иван Янковский и другие сексуальные сыновья российских артистов Павел Табаков, Иван Янковский и другие сексуальные сыновья российских артистов

Знаменитые отцы могут гордиться своими достойными наследниками

Cosmopolitan
Камера, мотор! Камера, мотор!

Кинопродюсер Дмитрий Литвинов показал свой дом

AD
Космос как развлечение Космос как развлечение

Какие у нас перспективы посмотреть на Землю из космоса

Популярная механика
Юрий Грымов: «Кино сегодня — это довольно скучное действие» Юрий Грымов: «Кино сегодня — это довольно скучное действие»

Юрий Грымов о спектакле с Лолитой Милявской в главной роли

Maxim
Открыть в приложении