Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души 3 ключа к скрытым ресурсам тела, сознания и души

Как добраться до внутреннего источника энергии

Psychologies
Стесняюсь спросить: можно ли исправить прикус и сделать зубы ровными в сжатые сроки? Стесняюсь спросить: можно ли исправить прикус и сделать зубы ровными в сжатые сроки?

Сколько времени займет процесс получения «голливудской» улыбки?

Esquire
4 способа вкусно приготовить макароны 4 способа вкусно приготовить макароны

Рассказываем, как вкусно и просто приготовить одно из самых популярных блюд

GQ
Ты не поверишь, что у них маленькие глаза! Как 8 звезд Ты не поверишь, что у них маленькие глаза! Как 8 звезд

У звезд не всегда идеально большие и выразительные глаза

Cosmopolitan
Как животные входили в историю кино Как животные входили в историю кино

Живые или мертвые: животные в истории кино

Weekend
«Корея — это не Ким Чен Ын»: как северокорейская беженка Джихён Пак стала британским политиком «Корея — это не Ким Чен Ын»: как северокорейская беженка Джихён Пак стала британским политиком

Джихён Пак бежала из Северной Кореи. Сейчас она начинающий британский политик

Forbes
Авто в один клик: как проходит цифровизация «ВТБ Лизинга» Авто в один клик: как проходит цифровизация «ВТБ Лизинга»

Как цифровизация трансформирует рынок автолизинга?

Forbes
Русская женщина. Манижа Русская женщина. Манижа

Манижа — о том, как на самом деле возникла песня, которая «пошатнула скрепы»

Собака.ru
Опасный, плохой, злой: как менялся образ bad russians в голливудском кино с 1960-х по настоящее время Опасный, плохой, злой: как менялся образ bad russians в голливудском кино с 1960-х по настоящее время

Галерея русских злодеев отлично иллюстрирует историю отношений США и России

Esquire
Как помочь ребенку пережить горе Как помочь ребенку пережить горе

Как успокоить ребенка, которого глубоко задела потеря?

Psychologies
Любимые женщины культового актера Данилы Козловского: от Боярской до Акиньшиной Любимые женщины культового актера Данилы Козловского: от Боярской до Акиньшиной

Данила Козловский – один из самых успешных российских артистов, любимчик женщин

Cosmopolitan
Почему «Хаббл» видит Плутон, но не видит «Аполлон»? Почему «Хаббл» видит Плутон, но не видит «Аполлон»?

Что именно видит телескоп Hubble?

Популярная механика
Древнейшую британскую солеварню соорудили неолитические переселенцы с континента Древнейшую британскую солеварню соорудили неолитические переселенцы с континента

Соляной промысел в Северном Йоркшире возник в начале IV тысячелетия до нашей эры

N+1
Каждый проект я открываю лично для себя Каждый проект я открываю лично для себя

Известный ресторатор поговорил с нами об автомобилях и докторской колбасе

4x4 Club
Свинотворение Свинотворение

Ксения Рождественская о «Гунде», документальном блокбастере о свинье

Weekend
«Спалились»: звезды, которых подвело корректирующее белье «Спалились»: звезды, которых подвело корректирующее белье

Кто из знаменитостей носит утягивающее белье

Cosmopolitan
50 величайших приключений на планете 50 величайших приключений на планете

Самые невероятные приключения, какие только можно организовать на нашей планете

Men’s Health
Почему великий Гэтсби и Дейзи не могли быть вместе. Рассказывает психолог Почему великий Гэтсби и Дейзи не могли быть вместе. Рассказывает психолог

Что не так с любовью великого Гэтсби рассказывает психолог Анастасия Степанова

Cosmopolitan
Каким получился «Чернобыль» Данилы Козловского Каким получился «Чернобыль» Данилы Козловского

Почему «Чернобыль» Данилы Козловского не спорит с сериалом HBO, а дополняет его

РБК
Астрономы засекли в космосе колоссальную Астрономы засекли в космосе колоссальную

Скопления галактик - самые большие из известных нам структур во Вселенной

Популярная механика
Европейцы начали разработку корабельного дизеля на аммиачном топливе Европейцы начали разработку корабельного дизеля на аммиачном топливе

Работа должна помочь снизить выбросы парниковых газов

N+1
Я решила рожать! Звездные россиянки, сохранившие беременность после предательств Я решила рожать! Звездные россиянки, сохранившие беременность после предательств

Известные россиянки не испугались взять ответственность за двоих

Cosmopolitan
Три Иисуса в одной палате: самый странный психиатрический эксперимент Три Иисуса в одной палате: самый странный психиатрический эксперимент

Что будет, если свести в клинике трех человек, которые считают себя Иисусами?

Cosmopolitan
Анастасия Спиридонова: «Женщина может быть красивой в любом весе» Анастасия Спиридонова: «Женщина может быть красивой в любом весе»

Анастасия Спиридонова – о своих детских комплексах и экспериментах с диетами

Здоровье
Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран Враги народа. Зачем России нужен список недружественных стран

Но как объяснить смысл списка гражданам «врагов народа» — своим и чужим?

СНОБ
12 ошибок при нанесении теней: не допускай их, и твой макияж будет суперкрут! 12 ошибок при нанесении теней: не допускай их, и твой макияж будет суперкрут!

Ошибки, которых стоит избегать при макияже с тенями для век

Cosmopolitan
Как самостоятельно создать натальную карту и за что отвечают планеты в ней Как самостоятельно создать натальную карту и за что отвечают планеты в ней

За какие сферы жизни отвечают планеты и как прочитать свою натальную карту

Cosmopolitan
«45 – баба ягодка опять»: Вспоминаем главные достижения Apple в честь юбилея «45 – баба ягодка опять»: Вспоминаем главные достижения Apple в честь юбилея

Самые яркие события в истории компании Apple

Популярная механика
Как делать не надо: 5 грубых ошибок в приготовлении шашлыка Как делать не надо: 5 грубых ошибок в приготовлении шашлыка

Что говорят про шашлык современные повара и мясники

Playboy
Может, договоримся? Может, договоримся?

Как найти общий язык с ребенком

Лиза
Открыть в приложении