Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

N+1Наука

По грани вычислимого

Чем известен лауреат Абелевской премии 2021 года

Даниил Мусатов

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон. Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;
  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;
  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;
  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;
  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;
  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности 10 невероятных красавиц с уникальными особенностями внешности

Эти девушки выглядят как инопланетянки, которые попали к нам из другого мира

Maxim
Лунные деревья, дети астронавтов и редис на SpaceX: 10 фотографий о том, как люди побывали в космосе Лунные деревья, дети астронавтов и редис на SpaceX: 10 фотографий о том, как люди побывали в космосе

Фотографии, отражающие присутствие людей в космосе

Forbes
Украшения, еда, впечатления: как зарабатывают на околокосмической теме Украшения, еда, впечатления: как зарабатывают на околокосмической теме

Предприниматели из России, зарабатывающие на космических впечатлениях

РБК
Чушь табачья! Неудобная правда о курении Чушь табачья! Неудобная правда о курении

Опасно ли курение для здоровья?

Maxim
12 самых необычных злодеев кино 12 самых необычных злодеев кино

Хорошо быть злодеем! Но еще лучше быть не таким злодеем, как все

Maxim
Овен-шопоголик и скряга-Козерог: как и на что тратят деньги разные знаки зодиака Овен-шопоголик и скряга-Козерог: как и на что тратят деньги разные знаки зодиака

Астрология может помочь понять, как ты зарабатываешь, копишь и тратишь деньги

Cosmopolitan
От детокса клизмой до распаривания вагины: главные бьюти-скандалы Гвинет Пэлтроу От детокса клизмой до распаривания вагины: главные бьюти-скандалы Гвинет Пэлтроу

Основные бьюти-скандалы вокруг Гвинет Пэлтроу

Cosmopolitan
Вертолет NASA пережил свою первую ночь на Марсе и прислал фото Вертолет NASA пережил свою первую ночь на Марсе и прислал фото

Мини-вертолет Ingenuity готовится к своему первому полету над поверхностью Марса

National Geographic
Богатые известные красавцы: как выглядят мужья актрис сериала «Содержанки» Богатые известные красавцы: как выглядят мужья актрис сериала «Содержанки»

С кем счастливы в реальной жизни звезды сериала «Содержанки»

Cosmopolitan
10 бесчестных уловок супермаркетов по отъему средств у населения 10 бесчестных уловок супермаркетов по отъему средств у населения

Магазины в погоне за прибылью прибегают к самым изощренным способам

Maxim
«Я должна была голой раздвинуть ноги»: Анна Уколова о работе с Серебренниковым «Я должна была голой раздвинуть ноги»: Анна Уколова о работе с Серебренниковым

Анна Уколова высказалась о работе с Кириллом Серебренниковым

Cosmopolitan
Тот самый Mercedes Айртона Сенны. Тест-драйв легендарной модели Тот самый Mercedes Айртона Сенны. Тест-драйв легендарной модели

Легендарный Mercedes бразильского пилота Айртона Сенны

РБК
Сын или дочка? Звездные мамы, которые одевают детей в одежду другого пола Сын или дочка? Звездные мамы, которые одевают детей в одежду другого пола

Звезды перестают ограничивать своих детей в образе мыслей

Cosmopolitan
Леонардо да Винчи не создавал бюст Флоры из Берлинского музея Леонардо да Винчи не создавал бюст Флоры из Берлинского музея

Ученые: восковой бюст Флоры был создан в XIX веке

National Geographic
Начать сначала Начать сначала

Работа с роскошными и статусными материалами и люксовыми брендами

SALON-Interior
«Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни» «Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни»

Как можно объяснить жизнь, полную досадных закономерностей

N+1
Лангусты вдохновили инженеров на создание гибкой и прочной брони Лангусты вдохновили инженеров на создание гибкой и прочной брони

Этот материал можно использовать для создания бронежилетов

National Geographic
Полный гид по интервальному голоданию: когда и что есть, чтобы похудеть Полный гид по интервальному голоданию: когда и что есть, чтобы похудеть

Хвастаться часами голода – новая мода, но насколько она полезна и эффективна?

Cosmopolitan
Валерий Панюшкин: Девочка, которая выжила Валерий Панюшкин: Девочка, которая выжила

Где стираются границы между добром и злом и можно ли верить самому близкому?

СНОБ
Бикини и интимные подарки: каким был медовый месяц Кейт Миддлтон и Уильяма Бикини и интимные подарки: каким был медовый месяц Кейт Миддлтон и Уильяма

Герцоги Кембриджские провели две недели на экзотическом острове

Cosmopolitan
«Я кашляла кровью»: Мария Максакова рассказала, как рожала единственную дочь «Я кашляла кровью»: Мария Максакова рассказала, как рожала единственную дочь

Оперная дива рассказала, как прошли роды ее дочери Людмилы

Cosmopolitan
Яхина, Манижа, Ярмыш. Может ли культура быть вне политики Яхина, Манижа, Ярмыш. Может ли культура быть вне политики

Общество впадает в детство, в младенчество

СНОБ
Как выглядят дочери Сталлоне, Уиллиса и других брутальных мужчин Голливуда 90-х Как выглядят дочери Сталлоне, Уиллиса и других брутальных мужчин Голливуда 90-х

Дочери брутальных мужчин Голливуда 90-х унаследовали красоту и талант отцов

Cosmopolitan
Что такое мюоны и для чего они нужны Что такое мюоны и для чего они нужны

Как можно использовать трудноуловимые элементарные частицы на пользу археологам

Популярная механика
«Россия на Дунае. Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии, 1812–1834» «Россия на Дунае. Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии, 1812–1834»

Империя, элиты и политика реформ в Молдавии и Валахии

N+1
“Гнев человеческий” Гая Ричи — самый невеселый из фильмов режиссера. Зато он похож на “Схватку” Майкла Манна и “Убийцу” Дэни Вильнева! “Гнев человеческий” Гая Ричи — самый невеселый из фильмов режиссера. Зато он похож на “Схватку” Майкла Манна и “Убийцу” Дэни Вильнева!

“Гнев человеческий” — ремейк боевика об инкассаторах, снятый Гаем Ричи

Esquire
Театр сделал зрителей эмпатичнее Театр сделал зрителей эмпатичнее

Посещение театра делает зрителей добрее

N+1
Что такое NFT и зачем вам это знать Что такое NFT и зачем вам это знать

NFT — большой бизнес, по крайней мере сейчас

Inc.
«Дети — детекторы лжи»: как помочь ребенку научиться признавать ошибки и контролировать эмоции «Дети — детекторы лжи»: как помочь ребенку научиться признавать ошибки и контролировать эмоции

Как научить детей переживать свои поражения и признавать ошибки

Forbes
Подводные извержения оказались неожиданно мощными Подводные извержения оказались неожиданно мощными

Извержения вулканов глубоко под водой дают чрезвычайно мощный выброс энергии

National Geographic
Открыть в приложении