История начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается математическим открытием

Наука и жизньМать и дитя

О суммах квадратов и кубов

Дмитрий Максимов

История, о которой пойдёт речь, начинается с теоремы Пифагора, а заканчивается одним математическим открытием, сделанным в сентябре 2019 года. Точнее сказать, эта история ещё не окончена…

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора, как известно, гласит: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 известен с давних времён. Ещё в Древнем Египте строители пирамид использовали для построения прямых углов верёвку с узлами, которые делили её на 12 равных частей. Задача о том, существуют ли другие тройки натуральных чисел, в которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других, интересовала математиков и в Египте, и в Вавилоне, и в Греции. Сейчас такие тройки принято называть пифагоровыми, разумеется, в честь теоремы Пифагора (древнегреческий математик жил с 570 по 495 год до н. э.), но известны они были задолго до него. Глиняная табличка, содержащая 15 пифагоровых троек, которую археологии называют Plimpton 322, была изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

Существует ли бесконечно много пифагоровых троек или их число конечно? Ответить на этот вопрос не сложно. Посмотрим на равенство A2 + (2A + 1) = = (A + 1)2. Если число 2А+1 окажется квадратом (а это может быть любой нечётный квадрат), то мы будем иметь пифагорову тройку. Так получаются равенства 122 + 52 = 132 и 242 + 72 = 252 и, понятное дело, бесконечно много других.

Глиняная табличка, содержащая пифагоровы тройки. Изготовлена примерно в 1800 году до н. э.

В книге «Начала» Евклида приведена общая формула, позволяющая находить всевозможные пифагоровы тройки. Нужно взять пару взаимно простых (то есть не имеющих никакого общего делителя, кроме единицы) чисел m и n (при условии, что m > n), и тогда тройка натуральных чисел m2 − n2, 2mn, m2 + n2 всегда будет пифагоровой. Можете проверить. Если точнее, получится примитивная пифагорова тройка, то есть такая, в которой у чисел нет общего делителя, кроме единицы. Самое важное то, что верно и обратное утверждение: любая примитивная пифагорова тройка представляется в таком виде для некоторых взаимно простых m и n. Доказать это не слишком просто, но вы можете попробовать.

Суммы двух квадратов

Обобщать задачу о пифагоровых тройках можно в разных направлениях. Например, есть такое понятие, как пифагоровы четвёрки: четыре натуральных числа, таких, что квадрат одного равен сумме квадратов трёх остальных. Но зададимся другим вопросом: какие числа можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

Начнём с естественного вопроса: может быть, в виде суммы двух квадратов представляется просто любое число? Оказывается, нет. Убедиться в этом нам помогут остатки от деления на 4.

Сначала заметим, что если возвести в квадрат чётное число, то результат будет обязательно делиться на 4. Действительно: 2k · 2k - 4k2. А что будет, если возвести в квадрат нечётное число? Посмотрим:

(2k+1)2 - (2k+1) · (2k + 1) - 4k2 + 4k + 1 - 4(k2 + k) + 1.

Итак, мы видим, что квадрат нечётного числа от деления на 4 всегда даёт остаток 1. Два наших наблюдения позволяют сделать очень полезный вывод: квадраты натуральных чисел от деления на 4 могут давать только остатки 0 или 1.

Этот факт можно было доказать и иначе, воспользовавшись тем, что остаток произведения можно найти, если перемножить остатки множителей. Использовать полученный результат нужно аккуратно: нельзя говорить, что остаток произведения равен произведению остатков (например, если два числа дают остатки 2 и 3 от деления на 4, то остаток произведения вовсе не 6, а 2), но, перемножив остатки множителей, мы узнаем остаток произведения.

Так или иначе, но мы поняли, что квадраты чисел дают не всевозможные остатки от деления на 4. Теперь рассмотрим сумму двух квадратов. С точки зрения остатков, от деления на 4 мы имеем три случая: 0 + 0, 0 + 1, 1 + 1. То есть получается, что сумма двух квадратов не может давать остаток 3 от деления на 4. А это значит, что есть бесконечно много чисел, не являющихся суммой двух квадратов.

Ну, а какие же числа представимы в виде суммы двух квадратов? Найти ответ на такой вопрос гораздо сложнее, и, как оказалось, он зависит от разложения числа на простые множители. В 1640 году знаменитый французский математик Пьер Ферма в письме своему соотечественнику математику Марену Мерсенну сообщил об одном своём новом открытии: любое простое число, дающее остаток 1 от деления на 4, представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 5 - 1

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Кто вы, доктор Арендт? Кто вы, доктор Арендт?

Загадка, уходящая своими корнями в XIX столетие

Дилетант
Как формируется детское мировоззрение Как формируется детское мировоззрение

Вопрос «кто виноват?» — основной толчок для формирования мировоззрения удетей

СНОБ
«Мне не в чем оправдываться» «Мне не в чем оправдываться»

26 декабря 2020 года в возрасте 98 лет ушёл из жизни Джордж Блейк

Дилетант
Золотые сотки Золотые сотки

Уничтожена уникальная многолетняя пшеница, на выведение которой ушли долгие годы

Огонёк
Почему летом жарко, а зимой холодно? Почему летом жарко, а зимой холодно?

Почему наступают зима, весна, лето, осень?

Наука и жизнь
Ем пирожные, чтобы себя наказать: что такое самонасилие едой Ем пирожные, чтобы себя наказать: что такое самонасилие едой

Еда как радость, наказание, внимание и любовь

Cosmopolitan
Какая-то трава вместо чая Какая-то трава вместо чая

Каркаде и ройбуш — конкуренты традиционного чая

Наука и жизнь
Все в одном: как пандемия изменила привычки покупателей и сервис ретейла Все в одном: как пандемия изменила привычки покупателей и сервис ретейла

Пандемия ускорила темпы роста российской онлайн-торговли

СНОБ
Вместо соли Вместо соли

В последнее время ценность соли в глазах человечества сильно упала

Наука и жизнь
Нехватка внимания и неполная семья повлияли на социальное поведение полевок Нехватка внимания и неполная семья повлияли на социальное поведение полевок

Полевки в сложных условиях переключались с воспитания детей на заботу о себе

N+1
Великое нашествие Великое нашествие

Вторжение монголов обратило русских государей в деспотов ордынского типа

Дилетант
Как детский характер становится взрослым Как детский характер становится взрослым

Из чего складывает темперамент человека по мере взросления?

Популярная механика
Король, отказавшийся от короны Король, отказавшийся от короны

Наиболее известным лидером крестоносцев считается Готфрид Бульонский

Дилетант
«Быть реалистом — трудная задача» «Быть реалистом — трудная задача»

Писатель Алексей Иванов собрал в книгу разговоры с читателями

Огонёк
Разоблачая мифы Разоблачая мифы

Существует четыре устойчивых заблуждения, связанных с Ванзейской конференцией

Дилетант
Как правильно ухаживать за кожей лица в домашних условиях Как правильно ухаживать за кожей лица в домашних условиях

Каждая кожа имеет особенные потребности

Cosmopolitan
Маршал Воробьёв, инженер Победы Маршал Воробьёв, инженер Победы

Маршал Михаил Петрович Воробьёв сделал очень многое для обороны Москвы

Дилетант
«Отомстила бывшему за предательство и с тех пор чувствую себя хорошо» «Отомстила бывшему за предательство и с тех пор чувствую себя хорошо»

Жажда мести отравляет или ведет к движению вперед?

Psychologies
«Жар-птица» Арктики «Жар-птица» Арктики

Самая редкая птица Арктики — розовая чайка

Наука и жизнь
Триумф семян Триумф семян

Как семена покорили растительный мир и повлияли на человеческую цивилизацию

kiozk originals
Женский живот: полезно или опасно качать пресс? Женский живот: полезно или опасно качать пресс?

Как состояние пресса сказывается на женском здоровье?

Psychologies
Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий Как заработать много денег: основные нюансы и 8 работающих стратегий

Коллекция стратегий по заработку денег, способных принести хороший доход

Playboy
Удивительные люди. Как одно знакомство может перевернуть жизнь Удивительные люди. Как одно знакомство может перевернуть жизнь

Какая встреча изменила вашу судьбу?

Forbes
В кадре и за кадром В кадре и за кадром

Женщины в кинопроизводстве уже давно не исключение

OK!
Интервью с автором подкаста «Закат Империи» Андреем Аксеновым Интервью с автором подкаста «Закат Империи» Андреем Аксеновым

Андрей Аксенов об исторической преемственности и симпатии к неоднозначным героям

СНОБ
Не дайте яблоку упасть Не дайте яблоку упасть

Почему активные инвестиции в садоводство не помогут полностью заменить импорт

Эксперт
Злые вы все Злые вы все

Переводим внимание с ответственного потребления на осознанное поведение

GQ
«Американская грязь». Отрывок из скандальной книги Джанин Камминс «Американская грязь». Отрывок из скандальной книги Джанин Камминс

Глава из романа Джанин Камминс о беженцах из Мексики

СНОБ
Правила жизни Вернера Херцога Правила жизни Вернера Херцога

Правила жизни немецкого кинорежиссера Вернера Херцога

Esquire
«Солярис», «Армагеддон», «Контакт» и еще 7 фильмов про космос «Солярис», «Армагеддон», «Контакт» и еще 7 фильмов про космос

Фильмы о покорителях Галактики помогут морально подготовиться к полету в космос

РБК
Открыть в приложении