История науки знает множество примеров заблуждений математиков

Наука и жизньНаука

Не доказано — не факт!

Наталья Карпушина

Игра в кости. Художник Фриц Вагнер. Первая половина XX века. Иллюстрация: Wikimedia Commons.

Плох тот учёный, который не учится на ошибках предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков — по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и даже ошибки бывают поучительными, они пробуждают работу мысли и могут привести к важным открытиям.

Перебирая варианты

В поэме «Божественная комедия» Данте Алигьери, итальянского поэта и мыслителя позднего Средневековья, есть строки, посвящённые азартным развлечениям:

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берёт
И мечет их один, в унылой злости...

Описывая типичную для той эпохи сцену, автор и не догадывался, что в будущем игрой в кости всерьёз заинтересуются математики.

Мимо этого эпизода не прошёл один из первых комментаторов «Божественной комедии» итальянский историк XIV века Бенвенуто да Имола. Он подсчитал количество исходов при одновременном бросании трёх игральных костей и пришёл к выводу: всего возможно 56 комбинаций троек чисел, выпадающих на верхних гранях. Имола не первый, кто решал эту комбинаторную задачу. Аналогичные подсчёты проделал ещё в X веке французский епископ города Камбре Вибольд. Желая отучить монахов от азартных игр и вернуть на путь истинный, он придумал для них игру в кости, где каждая выпавшая тройка очков обозначала какую-нибудь христианскую добродетель. Победителю полагалось внушать эти добродетели остальным монахам. Перебирая варианты, Вибольд также насчитал 56 исходов броска. Тот же результат выдал в 1523 году итальянский математиксамоучка Никколо Тарталья, который обобщил задачу и для случая произвольного числа игральных костей.

Заблуждались все трое. Их решения оказались неполными, поскольку при переборе вариантов учитывалось сочетание выпавших очков и не брался в расчёт их порядок. Поэтому, например, каждая тройка различных чисел считалась за одну комбинацию, а не за шесть разных, всего же их набралось 20 вместо 120. Отличие станет очевидным, если перебирать числа, расположив три кости сначала в ряд, а затем по кругу.

Первым из математиков о роли перестановок догадался итальянец Джероламо Кардано, научный конкурент Тартальи и к тому же заядлый игрок. Он насчитал 6 + 30 * 3 + 20 * 6 = 216 исходов броска трёх костей. А самое простое решение задачи предложил позже великий астроном и механик Галилео Галилей: при броске одной игральной кости может выпасть любая из шести граней, тогда, сочетая грани трёх костей друг с другом всеми способами, получим 63 = 216 исходов. По сути, учёный применил комбинаторное правило умножения, незнакомое европейцам в Средние века.

Недооценка перестановок также не раз приводила к ошибкам в решении вероятностных задач. Самый известный пример относится к середине XVIII века — это неверно вычисленная французским математиком Жаном Д’Аламбером вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при подбрасывании трёх монет. Вместо восьми равновозможных исходов броска он насчитал всего четыре, очевидно, прибегнув по традиции к перебору вариантов, а не к комбинаторике.

Правдоподобно или верно?

С давних пор математики стремились найти «формулу простых чисел», дающую если не все, то хотя бы бесконечно много простых чисел. Ещё в середине XVII столетия знаменитый французский математик Пьер Ферма утверждал, что все числа Fn = 2m + 1, где m = 2n и n = 0, 1, 2, … , позже названные его именем, являются простыми, в подтверждение чему сгенерировал таким образом первые пять чисел: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все они в самом деле простые. Дальше проверять свою догадку Ферма не стал, ибо в собственной правоте ничуть не сомневался, о чём сообщил в письме Блезу Паскалю. Показатель m был выбран не случайно: число 2m + 1 при m ≠ 2n является составным, и только при m = 2n оно могло оказаться простым. Результаты проверки первых пяти чисел добавили Ферма уверенности. Предположение математика выглядело вполне правдоподобно, но всё же оказалось неверным. И неудивительно: оно было сделано на основе наблюдения, сравнения и обобщения всего пяти частных случаев, или, как говорят логики, с помощью неполной индукции, а она иногда приводит к ошибкам, в данном случае к поспешному обобщению.

Якоб Эммануил Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Deutsches Museum, München/ Wikimedia Commons/PD.

Через три четверти века эту ошибку разглядел выдающийся швейцарский и российский математик Леонард Эйлер. Он сумел разложить на множители уже следующее число Ферма, десятизначное. Решение подобной задачи в то время было сродни подвигу даже для такого мастера расчётов, как Эйлер. И что же он сделал? Первым делом упростил себе работу: определил, какого вида простые числа могут претендовать на роль делителей, и проверял только их. Эйлеру повезло — хватило десяти проверок. Согласно его расчётам, сделанным вручную, F

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

«Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом» «Нет ничего лучше, чем быть академиком и завлабом»

Каким бы оказался сегодня монолог академика Ж. И. Алфёрова?

Наука и жизнь
20 лучших мультфильмов всех времен (для любой возрастной категории) 20 лучших мультфильмов всех времен (для любой возрастной категории)

Лучшие мультфильмы — от диснеевских нетленок до культовой классики

Правила жизни
Нихао, Шанхай Нихао, Шанхай

Путешествие в прошлое, настоящее и будущее одновременно

Robb Report
Зачем кенгуру три влагалища и две матки? Такого вам не расскажут в школе Зачем кенгуру три влагалища и две матки? Такого вам не расскажут в школе

Говорят, что быть «немножко беременной» невозможно. Это вы скажите кенгуру

ТехИнсайдер
Темный карнавал Темный карнавал

Об экзотических гипотезах темной материи

Популярная механика
Александр Коршунов: «Вдохновение должно приходить в назначенное время» Александр Коршунов: «Вдохновение должно приходить в назначенное время»

Режиссер Александр Коршунов — о новом спектакле и театре «Сфера»

Монокль
Берегли вещь для особого случая? Используйте ее прямо сейчас! Берегли вещь для особого случая? Используйте ее прямо сейчас!

Выясняем, почему мы не используем то, что приобрели, и как с этим справиться

Psychologies
Чем полезна пекинская капуста для организма: 8 свойств Чем полезна пекинская капуста для организма: 8 свойств

Пекинская капуста (ее еще называют бок-чой): диетическая, полезная и вкусная

РБК
«Задача трех тел»: удивительная научная фантастика от создателей «Игры престолов» «Задача трех тел»: удивительная научная фантастика от создателей «Игры престолов»

Какой получилась англоязычная экранизация азиатской фантастики «Задача трех тел»

Forbes
Два аспида не поделили червягу Два аспида не поделили червягу

Исследователи стали свидетелями битвы за добычу между двумя коралловыми аспидами

N+1
Парус, лыжи, кошки, спиннинг… Парус, лыжи, кошки, спиннинг…

В кратер вулкана на лыжах и неделя «вне зоны действия сети»

Вокруг света
Как правильно ездить на электросамокате в 2024 году: номера, карточки и новые штрафы Как правильно ездить на электросамокате в 2024 году: номера, карточки и новые штрафы

Электросамокаты, гироскутеры, моноколеса и иже с ними впервые добавили в ПДД

Maxim
Дух свободы Дух свободы

Подчеркнуто мужское пространство со своей неповторимой атмосферой и харизмой

SALON-Interior
Силиконовый остров Силиконовый остров

Как Тайвань стал главной мировой полупроводниковой державой

Деньги
«Это я — Эдичка» — непонятый роман Эдуарда Лимонова «Это я — Эдичка» — непонятый роман Эдуарда Лимонова

Скандальный роман Эдуарда Лимонова, содержание которого понимают неправильно

СНОБ
Главная роль Кэтрин Зета-Джонс Главная роль Кэтрин Зета-Джонс

Свою главную и самую сложную роль она играет не на сцене или в кино, а в жизни

Караван историй
Что делать, если посудомоечная машина не сливает воду Что делать, если посудомоечная машина не сливает воду

Случаи, почему течет посудомойка, а также способы, как это исправить

CHIP
Дорогая, я уменьшил авто Дорогая, я уменьшил авто

Коллекционные модели машин как бизнес и увлечение

RR Люкс.Личности.Бизнес.
Что делать, если вы придаете значение праздникам и годовщинам, а ваш партнер — нет Что делать, если вы придаете значение праздникам и годовщинам, а ваш партнер — нет

Что происходит, если ваши с партнером взгляды на даты и годовщины расходятся?

Psychologies
Как восстановиться после травмы: книга о самопомощи для людей с ПТСР Как восстановиться после травмы: книга о самопомощи для людей с ПТСР

Почему после травмы часто возникают проблемы с контролем и безопасностью

Forbes
Пой, ласточка, пой Пой, ласточка, пой

Какими умениями нужно обладать, чтобы стать оперным певцом

Лиза
Семья тираннозавра: кошмарные перестановки Семья тираннозавра: кошмарные перестановки

История исследований и пересмотров окаменелостей тираннозавра и его второй вид

Наука и Техника
Я — сноб: президент Российской федерации баскетбола Андрей Кириленко Я — сноб: президент Российской федерации баскетбола Андрей Кириленко

Баскетболист Андрей Кириленко о необходимости держать руку на пульсе

СНОБ
Две стороны советской науки: почему Капицу не пускали в Кембридж, а Ландау арестовали Две стороны советской науки: почему Капицу не пускали в Кембридж, а Ландау арестовали

Как формировалась политика по отношению к науке и ученым в сталинские времена?

Forbes
Тана Френч: «В лесу». Роман из «Дублинского цикла» Тана Френч: «В лесу». Роман из «Дублинского цикла»

Фрагмент из дебютного детективного романа Таны Френч «В лесу»

СНОБ
«Обывательщину на прицел!», или Как в эпоху НЭПа в СССР боролись с мещанством, но не преуспели «Обывательщину на прицел!», или Как в эпоху НЭПа в СССР боролись с мещанством, но не преуспели

Прежде чем рассмотреть мещанина, стоит задаться вопросом: а что же он такое?

Наука
Что такое гипервизор? Типы и примеры гипервизоров, как работает Что такое гипервизор? Типы и примеры гипервизоров, как работает

Рассказываем о средстве виртуализации — гипервизоре

Цифровой океан
Психоистория коллекционирования Психоистория коллекционирования

Почему людям разных эпох неизменно нравилось собирать редкие вещи?

Правила жизни
Возделывай свой концлагерь Возделывай свой концлагерь

«Зона интересов»: Джонатан Глейзер о банальности зла

Weekend
Новое небо Новое небо

Астрономы обнаруживают в космическом прошлом массивные и зрелые галактики

Наука
Открыть в приложении