Парадоксы школьной математики
Как подобрать оптимальные форму и содержание для царицы наук
В этом году результаты ЕГЭ по профильной математике показали стремительный взлет, прибавив в среднем по стране более пяти баллов. Число выпускников, набравших от 81 до 100 баллов, то есть получивших пятерку по привычным школьным метрикам, выросло по сравнению с прошлым годом почти вдвое, а число тех, кто набрал заветную сотню по профилю, — более чем вшестеро. Правда, столь вдохновляющие итоги были быстро разоблачены: в сети стали появляться сообщения о «легких баллах», обеспеченных чрезмерно простыми заданиями, каковых не было на едином госэкзамене в предыдущие годы. Далее возникли коллизии с распределением бюджетных мест в вузах: резкий рост числа отличников спутал все карты в конкурсах на самые престижные направления. Снова зазвучали призывы усложнить экзамен и активизировались споры о том, какие знания должна давать школа и нужно ли стремиться к высокому качеству массового математического образования.
Призрак реформ в этой сфере проявляется все отчетливее. Помимо трудностей с поступлением в вузы есть еще и глобальная причина грядущих перемен — бурный рост вычислительных мощностей и расцвет искусственного интеллекта. Однако математика уже переживала тяжелые времена: весь XX век прошел под знаком экспериментов и поиска баланса между теорией и практикой, между абстрактным мышлением и наглядностью. Вспомним, как это было, и попробуем понять, какие уроки можно извлечь из истории.
Долой Евклида!
Первый переломный период в нашей стране случился в 1930-е годы, когда Наркомпрос СССР потребовал «коренной реорганизации преподавания математики в начальной и средней школе», обосновав это необходимостью поднять «оторванную от жизни науку» до уровня великих задач сталинских пятилеток. Основой реформы должно было стать выстраивание курсов математики вокруг единого стержня — анализа бесконечно малых величин (ныне это один из разделов высшей математики — математический анализ, в его рамках изучаются пределы, производные, интегралы и бесконечные ряды). А логику подачи материала решили перевернуть «с ног на голову» — идти не от частного к общему, как было принято в классической школе, а наоборот: по мнению реформаторов, это должно было повысить уровень подготовки.
Традиционные учебники математики, составленные педагогом и методистом Андреем Петровичем Киселевым и используемые в российской школе с конца XIX века, должны были уйти в прошлое, сменившись новыми — ориентированными на идейное содержание и научно-технический прогресс. Однако попытка революции провалилась: переменам сопротивлялось не только учительское сообщество, не готовое к серьезным методическим разворотам, но и часть академиков — членов комиссий по реформам образования. Кроме того, вскоре стало очевидно, что новый подход не учитывает механизмы восприятия школьниками абстрактных понятий и потому увеличивает риск потери учениками базовых навыков (например, в арифметике или классической геометрии) при неусвоении «продвинутого» материала. К тому же вскоре началась война, поставившая на паузу пробные шаги молодой советской власти во многих сферах.
В итоге российская школа еще несколько десятилетий простояла на фундаменте классической математики. За это время самые «математически емкие» отрасли — машиностроение и металлообработка — показали более чем семикратный рост, а еще десяток направлений — от спутнико- и ракетостроения до отправки человека в космос, успешных посадок аппаратов на Луну и Венеру, производства турбореактивных и турбовинтовых двигателей, сверхзвуковых истребителей, самолетов гражданской авиации и вертолетов — отметились технологическими прорывами.
Но эти победы едва не стали роковыми для царицы наук. Запуск первого советского спутника в 1957 году вызвал горячие дискуссии о школьной математике в США и Европе: так, Джон Кеннеди заявил, что СССР выиграл космическую гонку за школьной партой, а граждане и СМИ стали винить в технологическом отставании свою систему образования. Накал страстей был настолько велик, что в 1963 году на конференции в Кембридже было объявлено, что программа американских школ по математике должна включать материал, изучаемый на первых трех курсах лучших колледжей, а на форуме в Афинах в качестве новых основ школьного курса рассматривались понятия множества и функции и отмечалась необходимость выстраивать образование вокруг математических структур (множества с заданной системой отношений между элементами).
На Международном математическом конгрессе в Стокгольме было предложено изменить терминологию и символику науки, исключить из традиционных разделов курса математики элементарную геометрию и тригонометрию, потеснить арифметику. Зазвучали лозунги: «Революция в математике!» и «Долой Евклида!». Йельский университет издал новые учебники — по ним дети должны были учиться не отработке алгоритмов, а пониманию математических концепций и дедуктивному мышлению. В программу вошли темы, которые раньше в школе почти не встречались: теория множеств, сравнения по модулю, символическая логика, матрицы, абстрактная и булева алгебра и другие.
Вытеснение классики
Идею перемен подхватили и в СССР: идеологи преобразований, отступившие от намеченной линии в 1930-е годы, дождались своего звездного часа. Очередное заседание Международного математического конгресса, объединившее апологетов неоматематики, прошло в 1966 году в Москве, на площадке МГУ им. М. В. Ломоносова. На мероприятии обсуждались способы внедрения новых методик в средней школе, а возникающие на практике трудности реформаторы объясняли неподготовленностью учителей и новизной подхода.
Сложностей действительно было немало, причем связанных не только с иным содержанием программ, но и с трансформацией методологии. В преподавании теперь предписывалось делать упор на «обучение через открытие»: школьники, объединенные в группы, должны были выдвигать гипотезы и искать решения задач, а учитель — ходить от стола к столу и корректировать работу, играя роль наставника. Увы, ни дети, ни педагоги не сумели переключиться на абстрактные структуры в обход базовой математики, и результаты стандартизированных тестов становились все хуже.
Но теоретики не сдавали позиций. Особую популярность приобрело в мире более ранее исследование группы швейцарских психологов под руководством Жана Пиаже: ученые пришли к выводу, что содержание математики служит лишь попутным средством формирования умственной деятельности ребенка, а потому системность изучения тем значения не имеет.
Английский педагог-реформатор Калеб Гаттеньо продвигал методику так называемого геоплана — по сути, доски с набитой на ней гвоздевой сеткой. При натягивании на гвозди цветных резинок ребенок (младший школьник) получал какие-нибудь фигуры. А учитель, попросив детей поочередно изобразить свои конструкции на большом (классном) геоплане, давал необходимые комментарии: например, в одном случае говорил, что у ученика получились многоугольники, причем один называл выпуклым, а второй — невыпуклым; в другом случае показывал на доске квадрат, замечая, что в большом квадрате содержится четыре маленьких, конгруэнтных друг другу. Более того, один маленький квадрат составляет четвертую долю большого, а два — половину большого, и это можно записать в виде дробей. Таким образом, дети должны были знакомиться с многообразием различных фактов (многоугольниками, дробями, буквами и т. д.), открытых ими самими. По мере продолжения обучения факты должны были накапливаться и затем с помощью учителя классифицироваться и обобщаться.