Оптимум Канторовича
Как задача о лущильных станках привела к Нобелевской премии
Леонид Канторович был математическим вундеркиндом, занимался функциональным анализом, военными расчетами и атомным проектом. В историю экономики он вошел благодаря теории оптимального распределения ресурсов, отмеченной в 1975 году Нобелевской премией по экономике. Путь к признанию теории был долгим и трудным.
Вундеркинд-математик
Его родители были медиками: отец — венерологом, мать — зубным врачом. Но Леонид Канторович не стал продолжателем врачебной династии, это сделал его старший брат Николай, ставший психиатром. Леонида увлекла математика. На физико-математический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ) он поступил в 1926 году, в 14-летнем возрасте. К моменту получения диплома у него было 11 опубликованных научных работ. Оставшись в аспирантуре, он преподавал математический анализ и писал новые статьи. В 20 лет он уже был доцентом. В 22 года стал профессором Ленинградского института инженеров промышленного строительства (ЛИИПС). В 23 года получил степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 25 лет, в 1937 году, Леонид Канторович был назначен заместителем директора НИИ математики и механики (НИИММ) при ЛГУ.
В одной из статей 1935 года Канторович ввел теорию линейных полуупорядоченных пространств и выделил в ней класс пространств, впоследствии получивших название К-пространств, или пространств Канторовича (в рабочих тетрадях он называл их «мои пространства»). В 1938 году его работа «Функциональный анализ на основе теории полуупорядоченных пространств» получила первую премию на конкурсе, объявленном Академией наук СССР по случаю 20-летия комсомола.
Экономикой он интересовался еще в студенческие годы. Из статьи Леонида Канторовича «Мой путь в науке»: «Многих удивляет, как это вдруг случилось, что я стал экономистом. Нужно сказать, что некоторый интерес к экономике, к экономическим решениям у меня всегда был. Например, я с большим интересом слушал лекции по политэкономии, которые нам читал на третьем курсе А. А. Вознесенский, в последующем ректор университета, брат известного экономиста, председателя Госплана, члена Политбюро Н. А. Вознесенского».
Летом 1929 года, после третьего курса, ему пришлось поработать экономистом. Он попытался устроиться статистиком в Средазводхозе (Средне-Азиатском управлении водного хозяйства). Но должности статистика не оказалось, поэтому Канторовича зачислили на должность младшего экономиста.
В конце 1930-х Канторович направил в Верховный Совет СССР записку о нелепом положении в книжной торговле, системе тиражей книг и цен на книги, из-за которой возникали книжный дефицит и спекуляция, что наносило ущерб и государству, и гражданам.
Серьезный переход к занятиям экономикой произошел случайно.
Фанерное программирование
В начале 1938 года к Леониду Канторовичу обратились инженеры из лаборатории Фанеротреста (Всесоюзного государственного фанерного треста) с «довольно грамотно поставленной», по его словам, задачей.
Фанера производится путем склеивания нескольких слоев древесного лущеного шпона. Шпон изготавливается на лущильных станках из деревянных заготовок. От того, какое сырье поставлено, а его было восемь видов, зависела производительность станка. Вопрос был в том, как рациональнее использовать станки.
В наше время фанера в первую очередь ассоциируется со строительством и ремонтом. Но в конце 1930-х годов сфера применения этого материала была шире, чем сейчас. В 1936 году Совет Труда и Обороны СССР выпустил совершенно секретное постановление №ОК-Зсс «О работе авиационной промышленности». В нем говорилось о необходимости реконструировать фанерные заводы для выпуска авиационной фанеры, для чего приобрести за границей специальные лущильные станки и сушильные агрегаты.
СССР испытывал дефицит алюминиевых сплавов, поэтому авиационная фанера и березовый шпон широко использовались в самолетостроении — для фюзеляжей, обшивки крыльев и других элементов. В гидроавиации фанерой обшивали также корпуса летающих лодок. Так что задача, поставленная перед Канторовичем, была связана с отраслью, имевшей оборонное значение.
Задача его заинтересовала, но не настолько, чтобы, бросив все, заниматься только ее решением. Он поставил ее на обсуждение на заседании отдела математики НИИММ. Коллеги, в том числе крупные специалисты, слушали с интересом, но решения никто не предложил. У самого Канторовича был еще один отвлекающий фактор: в 1938 году он женился. Задача продолжала оставаться нерешенной. Решить ее простым перебором переменных было невозможно. При пяти станках и восьми видах материала перебор потребовал бы решения примерно миллиарда систем линейных уравнений (напомним, что компьютеров тогда не существовало). Он также осознал, что задачи подобного рода могут возникать в других отраслях промышленности, в сельском хозяйстве, на транспорте.
Он мог просто решить конкретную задачу, сообщив представителям Фанеротреста: один станок снабжать таким сырьем, а другой — вот таким и т. п. Вместо этого Канторович занялся поиском универсального способа определять, куда направить ограниченные ресурсы, чтобы получить максимальный результат.
В октябре 1938 года на научной сессии Ленинградского педагогического института имени Герцена Канторович представил несколько вариантов задач такого рода и предложения по их решению.
В 1939 году в издательстве ЛГУ была опубликована его работа «Математические методы организации и планирования производства». Уже по оглавлению можно судить о том, какого масштаба задачу ему удалось решить. В названии глав упоминается максимальная производительность станков, максимальное использование сырья, максимальное уменьшение отходов, наиболее рациональное использование топлива, распределение посевной площади, наилучший план перевозок.
Работа Канторовича стала первым случаем систематического применения методов линейной оптимизации к экономическим задачам. Она заложила основы того, что впоследствии получило название «линейное программирование».
Брошюра толщиной 68 страниц была издана тиражом 1000 экземпляров и разослана в наркоматы, органы печати, Академию наук, научно-исследовательские институты, Госплан.
В 1940 году в «Докладах Академии наук» была опубликована чисто математическая версия этой работы.
Джордж Данциг, создатель симплекс-метода и один из основателей американской школы линейного программирования, в книге «Linear Programming and Extensions», изданной в 1963 году, писал: «Канторовича следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важнейших производственных задач поддается четкой математической формулировке…» Данциг также отмечал: «Если бы первые работы Канторовича были бы в должной мере оценены в момент их первой публикации, то возможно, что в настоящее время линейное программирование продвинулось бы значительно дальше».
Не только фанера
Для решения задачи оптимальной загрузки лущильных станков Канторович ввел «разрешающие множители» — специальные коэффициенты, позволявшие сравнивать разные способы использования ограниченных ресурсов и находить оптимальный план действий. Позднее выяснился их более глубокий экономический смысл: множители показывали относительную ценность дефицитных ресурсов. В современной теории оптимизации близкие величины называют двойственными переменными или теневыми ценами.
Рассмотрим задачу с фанерой в сильно упрощенном виде, чтобы просто понять логику ее решения. Пусть будет всего один вид древесины и два вида выпускаемых изделий — продукт А и продукт В. У каждого продукта есть условный экономический результат от выпуска партии продукции — например, выручка. У продукта А — 40 тыс. руб., у продукта В — 50 тыс. руб. Для изготовления партии продукта А требуется 1 станко-час и 3 кг древесины, партии продукта В — 2 станко-часа и 1 кг древесины. В распоряжении предприятия имеется общий фонд в 100 станко-часов и 120 кг древесины. Как рациональнее всего использовать имеющиеся ресурсы — машинное время (100 станко-часов) и имеющуюся древесину (120 кг)?
В оптимальной точке оба ресурса используются полностью. Обозначим количество продукта A через А, продукта В — через B. Тогда для станко-часов: А + 2B = 100. Для древесины: 3А + B = 120.
Считаем. А = 100 — 2B
3(100 — 2B) + B = 120
300 — 6B + B = 120
300 — 120 = 5B
B = 36
Тогда из А + 2B = 100 получаем А + 36х2 = 100. А = 28.
То есть на изготовление партии продукта А расходуется 28 часов машинного времени, продукта В — 2х36 = 72 часа. На партию продукта А расходуется 3х28 = 84 кг древесины, на партию продукта В — 36 кг древесины. Все ресурсы использованы полностью.
Общий экономический результат от выпуска партии продукта А составит 28х40 000 = 1,12 млн руб., от выпуска партии продукта В — 36х50 тыс.= 1,8 млн руб. В общей сложности — 2,92 млн руб.
Найденное решение отвечает на вопрос о том, как оптимально распределить имеющиеся ресурсы. Но из того же решения можно получить ответ и на другой вопрос, уже из области экономики: какой из ресурсов для производства более ценен и насколько?
Древесина и машинное время измеряются в несопоставимых единицах — килограммах и часах. Более того, ни цена закупки древесины, ни расходы на работу станка сами по себе не показывают, насколько остро предприятие нуждается именно в дополнительном килограмме древесины или дополнительном часе работы станка. Канторович предложил оценивать ресурс по тому, насколько увеличится максимально возможный результат, если запас этого ресурса немного возрастет.