Логарифмы интересуют математиков разных времен

Наука и жизньНаука

Его величество логарифм

Кандидат химических наук Александр Семёнов, главный эксперт АО «ВНИИНМ».

Посвящаю памяти своей мамы Лидии Васильевны Семёновой, впервые познакомившей меня с логарифмами.

Четыреста лет назад в математике и в науке в целом произошло знаменательное событие. Эксцентричный шотландский барон, математик, богослов, астролог и мистик Джон Непер (1550—1617) ввёл новое понятие — «логарифм». Опубликованные им в 1614 году «Волшебные таблицы логарифмов», фактически содержавшие значения логарифмической функции, были результатом упорных трудов и кропотливых расчётов. Многие математики занимались этой замечательной функцией, а некоторые потратили на неё десятки лет своей жизни. Что же привлекало их в логарифмах, которыми мы пользуемся до сих пор?

Долгожданный помощник астрономов

Логарифм тесно связан с более привычной всем функцией возведения в степень (1) и является одной из двух обратных функций к ней, наряду с операцией извлечения корня (2):

Если в формуле (1) переменной служит величина А, то мы имеем дело со степенной функцией. При переменном показателе степени х та же формула (1) определяет показательную функцию, которую иногда называют ещё антилогарифмом по основанию А. Логарифмирование (3) представляет собой поиск неизвестного показателя степени x из (1). Величина A называется основанием логарифма. Наиболее часто используют логарифмы по основанию 10, которые носят названия десятичных и обозначаются lg x, и логарифмы по основанию е = 2,71828… — натуральные логарифмы −ln x. Менее популярны, но имеют важное и самостоятельное значение двоичные логарифмы, которые с недавнего времени, согласно стандарту ISO 31-11, имеют пока ещё малоизвестное собственное обозначение lb x, но чаще записываются как log2x.

Например, если мы возводим число 10 в квадрат, в куб, в четвёртую степень, то соответственно имеем результатом 100, 1000 и 10000. Тогда логарифмами этих чисел по основанию 10 будут соответственно величины 2, 3 и 4 — показатели степени, в которые возводится число:

Поскольку мы используем десятичную систему счисления, логарифмы таких чисел совпадают с количеством нулей после единицы.

Главное «волшебство» заключается в том, что логарифм позволяет заменить сложные, в отсутствие калькуляторов, операции умножения и деления многозначных чисел намного более простыми сложением и вычитанием, поскольку log (ab) = = log a + log b и log (a/b) = log a – log b. (Если у логарифма не указано основание, то формула справедлива при любом основании.)

Графики трёх наиболее часто используемых логарифмических функций: двоичного, натурального и десятичного логарифмов.

Поясним это на простом примере умножения чисел 1265 и 432. Пусть в нашем распоряжении имеется таблица десятичных логарифмов. Тогда находим по ней lg 1265 и lg 432, подсчитываем их сумму. Получили логарифм ответа, который находим снова по таблице. В математической форме то, что мы проделали, выглядит так:

lg 1265·432 = lg 1265 + lg 432 ≈ 3,1020905+ + 2,6354837 = 5,7375742 ≈ lg 546480. Ответ: 1265·432 = 546480.

Точность ответа определяется числом знаков, с которым вычислены логарифмы в таблице.

На рубеже XVI—XVII веков такая замена была особенно долгожданной, поскольку развивающиеся науки требовали всё большего количества вычислений. По словам французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749—1827), открытие логарифма как бы подарило учёным, в первую очередь астрономам, дополнительные годы жизни за счёт значительного сокращения громоздких расчётов.

Логарифмы Непера

Первооткрыватель
логарифмов
Джон Непер
(John Napier).

Как же Непер вычислял свои логарифмы? Со времён Архимеда было известно, что если составить последовательность целых чисел x в виде арифметической прогрессии и подставить эти числа в выражение (1), то полученные значения величины y будут располагаться в геометрической прогрессии — каждое следующее число будет больше предыдущего в A раз. Однако при попытке перейти в формуле (1) к дробным, а тем более к иррациональным величинам x возникали сложности, которые до Джона Непера никому так и не удалось решить. Фактически надо было перейти от последовательностей целых чисел к непрерывной функции с произвольным значением показателя степени x.

Гениальность подхода Джона Непера заключалась в том, что он для вычислений использовал так называемый кинематический метод. Непер задал равномерное движение точки x, которому соответствовало равнозамедленное движение точки у.

При вычислении логарифмов Джон Непер использовал кинематический метод. Он сопоставил движение двух точек по двум прямым: равномерное движение точки N на бесконечной прямой с началом в точке N0 и движение точки M на прямой конечной длины М0R. Скорость движения точки M равномерно уменьшалась пропорционально расстоянию, которое ей оставалось пройти до конечной точки R. При устремлении точки N в бесконечность точка M стремилась в точку R, не имея возможности её достигнуть. Если отметить на обеих прямых положения точек M и N, в которых они будут находиться через несколько равных промежутков времени, то на шкале логарифмов N получается арифметическая прогрессия, а на шкале аргументов M образуется прогрессия геометрическая из расстояний между соседними положениями этой замедленно движущейся точки. Такое соответствие точек на двух прямых как раз и представляло искомую логарифмическую зависимость между величинами.

Для расчётов, чтобы избежать отрицательных и дробных значений логарифмов новой функции, Непер сделал её убывающей: он умножал значения логарифмов на 10 миллионов и постулировал, что «логарифм» от 10 миллионов равен нулю.

По сути, Джон Непер предвосхитил дифференциальное исчисление в те времена, когда ещё не было самого понятия функции, функциональной связи между величинами. Для читателей, знающих высшую математику, скажем, что его зависимость между х и у выражается несложным дифференциальным уравнением:

Решение этого уравнения как раз и даёт логарифмическую зависимость в виде y = C − 107 ln x. Неопределённый коэффициент C у Непера из условия y(107) = 0 равен С = 107 ln(107) = 161180956,5.

Таким образом, полученная функция, которую Непер назвал логарифмом, заметно отличается от логарифмов современных, так как на самом деле имеет вид:

Её во избежание путаницы называют «неперов логарифм».

— фактическое основание логарифма непера, сам Непер основание логарифма не вводил.

Термин «логарифм», впервые использованный Непером, состоит из двух древнегреческих корней: λóγος — «отношение» и άριθμος — «число».

Логарифмы Непера были рассчитаны для тригонометрических функций углов, находящихся в диапазоне 0—90о с шагом в одну угловую минуту, с точностью до восьмого знака. Итогом расчётов стала первая в истории человечества таблица логарифмов. Она действительно позволяла заменить умножение многозначных чисел сложением, а их деление вычитанием, хотя это получалось немного более сложным образом, чем при использовании современных логарифмических функций.

Синусы, косинусы и тангенсы присутствовали в этих таблицах из-за того, что основной целью Непера являлось упрощение тригонометрических вычислений, с которыми связаны многие его работы. Надо отметить среди научных заслуг Джона Непера также вывод ряда формул из сферической тригонометрии, которые носят его имя.

Как ни странно, логарифмы Джону Неперу потребовались не для научных, а для астрологических расчётов, в которых он их активно применял. Непер вообще был личностью загадочной: одевался в чёрные одежды, ходил с чёрным петухом, сидящим на плече, а в коробочке с собою носил чёрного паука. Увлекался магией, опубликовал собственное толкование книги «Апокалипсис» («Откровения Иоанна Богослова»).

Непер использовал оригинальные формулы для вычисления логарифмов и больше полагался на интуицию, чем на строгие доказательства. Из-за этого в его алгоритме была допущена ошибка, делавшая неверными цифры после шестого знака, что, впрочем, не помешало популярности метода. Таблицы Непера с подробным описанием их составления и использования до сих пор вызывают удивление и восхищение как пытливостью ума их автора, так и его терпением и настойчивостью.

Соавторы и продолжатели

Над созданием подобных таблиц в то время работали учёные разных стран. Вторым «отцом» логарифмов считают швейцарца Йоста Бюрги (1552—1632), известного часовщика и изобретателя секундной стрелки, который работал независимо от Непера. Он потратил на создание собственных таблиц логарифмов более восьми лет. Произведя свыше 230 миллионов последовательных умножений, Бюрги составил с высокой точностью геометрическую прогрессию со знаменателем: 1,0001.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Пришел Кутузов бить французов: 7 мифов о легендарном генерал-фельдмаршале Пришел Кутузов бить французов: 7 мифов о легендарном генерал-фельдмаршале

Масон, заговорщик, бездарный полководец, «выезжавший» за счет чужих достижений?

Вокруг света
10 лучших фильмов — обладателей «Золотой пальмовой ветви» 10 лучших фильмов — обладателей «Золотой пальмовой ветви»

Субъективный список победителей Канн за всю историю кинофестиваля

Esquire
За что казнили Джордано Бруно За что казнили Джордано Бруно

Джордано Бруно окончил свою жизнь на костре за совсем другие «прегрешения»

Дилетант
Эоловы замки Тянь-Шаня Эоловы замки Тянь-Шаня

Путешествие в удивительные горы Тянь-Шаня

Наука и жизнь
Иллюзия успеха Иллюзия успеха

Четыре истории о талантливых мастерах пускать пыль в глаза

Популярная механика
Трихолог — о способах борьбы с выпадением волос Трихолог — о способах борьбы с выпадением волос

Как справиться с облысением?

РБК
Как мы будем лечить зубы в будущем: роботы-стоматологи и регенерация Как мы будем лечить зубы в будущем: роботы-стоматологи и регенерация

Стоматология стоит на пороге новых удивительных возможностей

Naked Science
Сериал «Голливуд» – это красивая, но довольно бессмысленная сказка Сериал «Голливуд» – это красивая, но довольно бессмысленная сказка

Замысел режиссера совершенно понятен с первой же серии

GQ
Миротворец-империалист Миротворец-империалист

Весь период правления Никита Сергеевич отчаянно боролся за мир

Дилетант
9 модных тенденций прошлого, от которых умирали 9 модных тенденций прошлого, от которых умирали

Мода заразна, как чума, а иногда она была и так же смертельна

Maxim
Симулятор войны Симулятор войны

Современные дети не играют в войну, зато в нее играют их родители

Популярная механика
7 привычек собак и что они означают 7 привычек собак и что они означают

Так вот что собака имела ввиду, сказав «Мяу»

Maxim
«Даже худший сценарий — не катастрофа». Бизнес-гуру — о будущем после пандемии «Даже худший сценарий — не катастрофа». Бизнес-гуру — о будущем после пандемии

Что нас ждет в ближайшее время?

Reminder
Недра небесные Недра небесные

Американские ученые выпустили самую полную геологическую карту Луны

Огонёк
Главные сериалы лета — о женщинах, которые ловят маньяков, раскрывают заговоры и убивают неверных мужей Главные сериалы лета — о женщинах, которые ловят маньяков, раскрывают заговоры и убивают неверных мужей

Этим летом выйдут сразу несколько сериалов о сильных и ярких женщинах

Forbes
Новый штамм безработицы Новый штамм безработицы

Чего ждать от рынка труда после пандемии

Огонёк
Моделирование помогло рассчитать угол падения «динозаврового» астероида Моделирование помогло рассчитать угол падения «динозаврового» астероида

Падение астероида могло стать причиной существенного изменения климата

N+1
«Это адское испытание»: Леонид Парфенов и Павел Лунгин о пандемии, разоблачении власти и шансе для талантливых «Это адское испытание»: Леонид Парфенов и Павел Лунгин о пандемии, разоблачении власти и шансе для талантливых

Каким будет мир после карантина?

Forbes
Колоссальная неопределенность: от чего зависит курс рубля и что с ним будет к концу года Колоссальная неопределенность: от чего зависит курс рубля и что с ним будет к концу года

От чего зависят валютные курсы, надолго ли доллар останется главной валютой мира

Forbes
Одинокие женщины из Великого Новгорода — о своем идеале мужчины. Фотопроект Одинокие женщины из Великого Новгорода — о своем идеале мужчины. Фотопроект

Женщины составили «фоторобот» своего идеального партнера

Esquire
МинФин МинФин

Как живет самая молодая в мире женщина-премьер

Tatler
Жирные молочные продукты связали с отсутствием метаболического синдрома Жирные молочные продукты связали с отсутствием метаболического синдрома

У любителей молочной продукции реже диагностируют метаболический синдром

N+1
Архитекторы неолита: в древнейшем храмовом комплексе мира выявили скрытый геометрический рисунок Архитекторы неолита: в древнейшем храмовом комплексе мира выявили скрытый геометрический рисунок

Комплекс Гёбекли-Тепе до сих пор остается самой загадочной постройкой неолита

National Geographic
«Жди меня, и я вернусь»: трагическая судьба музы легендарного военного поэта «Жди меня, и я вернусь»: трагическая судьба музы легендарного военного поэта

Во время Великой Отечественной эти строки Симонова знала наизусть вся страна

Cosmopolitan
Что смотреть: вспоминаем все серии «Форсажа» от худшей к лучшей Что смотреть: вспоминаем все серии «Форсажа» от худшей к лучшей

«Форсаж» — главная киноэпопея XXI века для мальчиков

Maxim
Как меняется тело из-за пребывания в изоляции Как меняется тело из-за пребывания в изоляции

Чем опасна изоляция и что она способна сделать с вашим телом

Популярная механика
«Умная» одежда: 10 предметов из будущего, доступных уже сейчас «Умная» одежда: 10 предметов из будущего, доступных уже сейчас

Технологичные предметы гардероба, которые значительно упрощают жизнь

РБК
Хуже, чем СПИД и Вьетнам: как самоизоляция подкосила поколение 30-летних Хуже, чем СПИД и Вьетнам: как самоизоляция подкосила поколение 30-летних

Миллениалы чаще остальных страдают от стресса во время карантина

Forbes
Нейросеть научили определять черты «Большой пятерки» по лицу Нейросеть научили определять черты «Большой пятерки» по лицу

Этот алгоритм позволяет узнать черты характера человека по фото

N+1
Не только Мэрилин Монро: еще шесть шикарных блондинок 1950-х Не только Мэрилин Монро: еще шесть шикарных блондинок 1950-х

Никогда еще ностальгия не была такой волнующей

Maxim
Открыть в приложении