Машина времени
За месяц прочитал: Сергей Попов «Вселенная. Краткий путеводитель по пространству и времени»
Российский астрофизик вслед за коллегами решил составить выдержку из суммы знаний, накопленных наукой по вопросам происхождения, эволюции и современного устройства Вселенной. Из-за сухости изложения книга получилась скорее справочной, чем популярной.
С понятием бесконечности мы знакомимся на уроках математики в средней школе. Но не всегда понимаем, зачем оно нам нужно, поскольку воспринимаем его как философскую абстракцию. Действительно, о бесконечности первыми начали размышлять античные философы. Часто они воспринимали её как природное свойство и противопоставляли порядку, всегда чем-то ограниченному. Со временем отношение к бесконечности изменилось: например, Анаксимандр Милетский говорил об «апейроне» — неопределённом и безграничном перво-веществе, которое лежит в основе Вселенной и находится в непрерывном движении. К сходным идеям пришли древнегреческие атомисты: они описывали мир как бесконечное пространство, заполненное бесконечным количеством атомов, из которых складываются все предметы, планеты, звёзды и так далее.
Великий Аристотель, как и в других случаях, поступил по-своему: он ввёл понятия экстенсивной бесконечности (она выводится из соображения, что к бесконечному ряду предметов теоретически всегда можно добавить ещё один) и интенсивной бесконечности (она опирается на уверенность в том, что любой предмет можно делить неограниченное число раз). При этом философ отрицал актуальную бесконечность, то есть проявленную в материальном мире. Впоследствии это нашло отражение в геометрии и в христианской теологии, признававшей бесконечность только Божественного Ума.
Плюс один к бесконечности
Символ бесконечности в виде положенной на бок восьмёрки впервые использовал английский математик Джон Валлис в трактате «О конических сечениях» (1655). Считается, что этот символ происходит от образа уробороса — змеи, кусающей себя за хвост. Необходимость ввести бесконечность как величину в систему вычислений была обусловлена тем, что математики всё больше использовали множества — совокупности элементов, сгруппированных по какому-то общему признаку. Необходимо было разобраться в законах, которые управляют бесконечными множествами.
Например, Галилео Галилей пытался найти решение для апорий Зенона. Наиболее известная из них описывает парадокс Ахиллеса, который никогда не сможет догнать черепаху, поскольку к тому моменту, когда он добежит до места, где была черепаха, та успеет проползти вперёд. Очевидное расхождение между реальностью и её математическим описанием, которое иллюстрировали апории, смущало Галилея. Однако в результате рассуждений он сам пришёл к парадоксу, который был назван его именем.
Представим бесконечное множество натуральных чисел (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6…) и бесконечное множество квадратов этих чисел (1 , 4 , 9 , 16, 25, 36…). Сравнивая эти два ряда, мы видим, что во втором из них есть пробелы по сравнению с первым, поэтому логично предположить, что множество натуральных чисел больше множества квадратов от них. В то же время у каждого натурального числа есть квадрат, и наоборот, у каждого квадрата есть квадратный корень, — следовательно, в этих множествах одинаковое количество чисел. Какое же из утверждений верно? Первое множество больше второго или они равны? Парадокс! В итоге, не найдя решения, Галилей сделал вывод, что понятия «больший», «меньший» и «равный»