Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни

Популярная механикаНаука

Красота повтора: что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

Евгений Епифанов

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Геометрия и алгебра

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный мемуар Жулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли. Вновь внимание к ней обратилось лишь полвека спустя с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Наука и искусство

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Авторизуйтесь и читайте статьи из популярных журналов

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Ты себя услышал: что значат звуки, которые издает твое тело Ты себя услышал: что значат звуки, которые издает твое тело

Поможем перевести все щелчки, хлопки и свисты твоего организма

Men’s Health, август'19
Тело в дело: как прошел спортивный кемп #SlimFitClub в Санкт-Морице Тело в дело: как прошел спортивный кемп #SlimFitClub в Санкт-Морице

Екатерина Чемагина на три дня стала курсантом #SlimFitClub в Санкт-Морице

РБК, август'19
Культурные события августа: куда пойти Культурные события августа: куда пойти

Голливуд прошлого, музыка настоящего и театр на улицах города

РБК, август'19
Как жить в эпоху повышенной тревожности Как жить в эпоху повышенной тревожности

Разбираемся, в чем состоит главная причина волнения

РБК, август'19
10 карьерных правил от великих полководцев 10 карьерных правил от великих полководцев

Карьерные советы от полководцев, которые сумели дожить хотя бы до 50 лет

Maxim, август'19
Маринованная акула и личный небоскреб: 10 странных покупок миллиардеров Маринованная акула и личный небоскреб: 10 странных покупок миллиардеров

О чем мечтают самые богатые бизнесмены и общественные деятели

РБК, август'19
Не верь, не бойся, не соли. Почему соль — белая смерть, и как с этим жить Не верь, не бойся, не соли. Почему соль — белая смерть, и как с этим жить

Прежде чем тянуться за солонкой, прочитай этот текст

Maxim, август'19
Матильда Шнурова — о ресторанном бизнесе и ЗОЖ Матильда Шнурова — о ресторанном бизнесе и ЗОЖ

«РБК Стиль» обсудил с Матильдой Шнуровой особенности ресторанного бизнеса

РБК, август'19
Алкогений: Шарль Бодлер Алкогений: Шарль Бодлер

Стремление людей к опьянению Бодлер объяснял «жаждой бесконечного»

Maxim, август'19
Масса Млечного Пути составляет 1,5 триллиона солнц. 84% из нее – темная материя Масса Млечного Пути составляет 1,5 триллиона солнц. 84% из нее – темная материя

Вычисления были произведены на основе данных телескопа ESA Gaia и Hubble

National Geographic, август'19
Кто создает концертные костюмы для Розалии Кто создает концертные костюмы для Розалии

Звезда испанской сцены покоряет не только голосом, но и эффектными нарядами

Vogue, август'19
Можно ли выбрать профессию по знаку зодиака Можно ли выбрать профессию по знаку зодиака

Как натальная карта помогает добиться профессионального успеха

Vogue, август'19
Чем заняться в Марселе: краткий гид от NG Traveler Чем заняться в Марселе: краткий гид от NG Traveler

Гид по обновленному Марселю

National Geographic, август'19
8 причин отдохнуть в отеле Lujo в Бодруме 8 причин отдохнуть в отеле Lujo в Бодруме

Новый турецкий отель, расположенный в Бодруме

РБК, август'19
Праздная экономия Праздная экономия

Во сколько обойдутся Москве мероприятия в рамках Дня города

РБК, август'19
Анита Цой: «Мне интересно, каково это – быть пьяной?» Анита Цой: «Мне интересно, каково это – быть пьяной?»

Как истинная кореянка... уважаю родителей и своего мужчину

StarHit, август'19
Дорогие сердцу Дорогие сердцу

Аромат по цене сумки — тяжелая ноша женщин с хорошим вкусом

Vogue, август'19
Мама без страха и упрека Мама без страха и упрека

Зож-блогер Наташа Давыдова готовится к осеннему зож-броску

OK!, август'19
Третий путь атомной энергетики Третий путь атомной энергетики

В Курчатовском институте завершается модернизация токамака Т-15

Популярная механика, август'19
Задвигать телегу Задвигать телегу

Бьюти-блогеры стремительно осваивают Telegram. Мы поговорили с ними о косметике

Cosmopolitan, август'19
Дети редакции Дети редакции

Российский биолог, кажется, нашел повод изменить ДНК человеческого эмбриона

Популярная механика, август'19
Меньше – лучше? Меньше – лучше?

Оказывается, принц Гарри не на шутку обеспокоен проблемами экологии

Grazia, август'19
Уссу качнули права Уссу качнули права

Почему чиновники не умеют говорить с народом

Русский репортер, август'19
Лихо закрутили Лихо закрутили

Как правильно ухаживать за вьющимися волосами, что делать, чтобы они не пушились

Grazia, август'19
Мама дорогая! Мама дорогая!

Эти женщины – не просто счастливые мамы, но и успешные предприниматели

Cosmopolitan, август'19
Комета по имени Алла... Комета по имени Алла...

Мои соболезнования близким и многочисленным друзьям этой необыкновенной женщины

StarHit, август'19
Разрыв шаблона Разрыв шаблона

Эти молодые разработчики дышат в спину Марку Цукербергу и Илону Маску

Cosmopolitan, август'19
Суровый стиль Суровый стиль

Люку Эвансу пришлось попрощаться с карьерой вампира

GQ, август'19
Смелее, выше, умнее Смелее, выше, умнее

Эшли Грэм за то, чтобы пол и комплекция не определяли наше отношение к человеку

Glamour, август'19
Репортаж с места события Репортаж с места события

Алёна Пенева встретилась с военным корреспондентом и писателем Михаилом Зыгарем

Cosmopolitan, август'19